Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=a$. Biết $SA$ vuông góc với $(ABC)$, $SA=a\sqrt{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $BC\perp AB$, $BC=a$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$ và $SA\perp AB$.
a) $BC\perp AB$ và $BC\perp SA\Rightarrow BC\perp (SAB)$: đúng.
b) Giao tuyến của $(SBC)$ và $(ABC)$ là $BC$. Vì $BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp SB$ và $BC\perp AB$, do đó góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{SBA}$. $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\sqrt{6}\Rightarrow \widehat{SBA}\approx 67,79^{\circ }\approx 68^{\circ }$: đúng.
c) Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$ với $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SCA}=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$: sai.
d) $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}{a}^3}{6}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ (tam giác vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAB)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến là $BC$; vì $BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp SB$, $BC\perp AB$, góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{SBA}$ với $\tan \widehat{SBA}=\sqrt{6}\Rightarrow \widehat{SBA}\approx 68^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$, $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SCA}=60^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}{a}^3}{6}$.