Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=1\text{ cm},AC=\sqrt{2}\text{ cm}$; $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^{\circ }$, góc giữa $BC$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng $45^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$, với đơn vị là cm (centimet) và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.
Ta có $\{\begin{array}{l}SH\perp AB\\ SB\perp AB\end{array}\Rightarrow AB\perp (SAB)\Rightarrow AB\perp HB$.
Tương tự, $AC\perp HC$. Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên tứ giác $ABHC$ là hình chữ nhật.
Kẻ $HF\perp SB\Rightarrow HF\perp (SAB)$. Đặt $SH=x>0$.
Trong tam giác vuông $SHB$, đường cao $HF=\frac{HB\cdot SH}{\sqrt{H{B}^2+S{H}^2}}=\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{x^2+2}}$.
Vì $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$ và góc giữa $BC$ và $(SAB)$ bằng $45^{\circ }$, ta có:
$\sin 45^{\circ }=\frac{d(C,(SAB))}{BC}=\frac{d(H,(SAB))}{BC}=\frac{HF}{BC}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{3(x^2+2)}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff 2x=\sqrt{3(x^2+2)}\iff 4x^2=3x^2+6\iff x=\sqrt{6}$.
Kẻ đường thẳng qua $A$ song song $BC$, kẻ $HE\perp \Delta$ và $HK\perp SE$. Khi đó $HK\perp (SAE)$ và $BC\parallel (SAE)$, suy ra $d(BC,SA)=d(BC,(SAE))=\frac{1}{2}d(H,(SAE))=\frac{1}{2}HK$.
Ta tính được $HE=\frac{2\sqrt{6}}{3}$, từ đó $HK=\frac{SH\cdot HE}{\sqrt{S{H}^2+H{E}^2}}=\frac{2\sqrt{78}}{13}$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là:
$d(SA,BC)=\frac{1}{2}HK=\frac{\sqrt{78}}{13}\approx 0,67936\approx 0,68\text{ cm}$.