Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=4,SB=6,SC=10$, $\widehat{ASB}=60^{\circ }$, $\widehat{BSC}=90^{\circ }$, $\widehat{CSA}=120^{\circ }$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $I$ là điểm sao cho $2\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=\vec{0}$. Đặt $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $
a\cdot a=SA\cdot SB\cos 60^\circ=4\cdot 6\cdot \tfrac12=12
e 24$ → sai.

b) Từ $2SI+b+c=0$ suy ra $SI=-\frac{1}{2}(b+c)$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $SG=\frac{1}{3}(a+b+c)$. Do đó $GI=SI-SG=-\frac{a}{3}-\frac{5b}{6}-\frac{5c}{6}$; số hạng $\frac{5b}{6}$ trong đề mang dấu $+$ nên sai.

c) Với $a\cdot b=12$, $a\cdot c=40\cos 120^{\circ }=-20$, $b\cdot c=0$:
$|GI{|}^2=\frac{16}{9}+25+\frac{625}{9}+2\cdot \frac{5}{18}\cdot 12+2\cdot \frac{5}{18}\cdot (-20)+0=\frac{16+225+625+60-100}{9}=\frac{826}{9}$, nên $GI=\frac{\sqrt{826}}{3}$ → đúng.

d) $AB=b-a$. $GI\cdot AB=-\frac{12}{3}+\frac{16}{3}-\frac{5\cdot 36}{6}+\frac{5\cdot 12}{6}-0+\frac{5\cdot (-20)}{6}=\frac{4}{3}-30+10-\frac{100}{6}=-\frac{106}{3}$. $|AB|=\sqrt{36+16-24}=2\sqrt{7}$, $|GI|=\frac{\sqrt{826}}{3}$. $\cos \theta =\frac{-106/3}{(\sqrt{826}/3)(2\sqrt{7})}=\frac{-53}{\sqrt{5782}}\approx -0,697$, suy ra $\theta \approx 134,2^{\circ }\ne 80,6^{\circ }$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$a\cdot b=4\cdot 6\cos 60^{\circ }=12\ne 24$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$GI=-\frac{a}{3}-\frac{5b}{6}-\frac{5c}{6}$, số hạng $\frac{5b}{6}$ phải mang dấu trừ.
c) (AI giải đề cho tôi)
$|GI{|}^2=\frac{826}{9}$ nên $GI=\frac{\sqrt{826}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \theta =\frac{-53}{\sqrt{5782}}\approx -0,697$ nên góc $\approx 134,2^{\circ }\ne 80,6^{\circ }$.