Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=7cm$; $AB=3cm$, $AC=6cm$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$. Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng bao nhiêu xăng-ti-mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $B=(3;0;0)$, $C=(6\cos 120^{\circ };6\sin 120^{\circ };0)=(-3;3\sqrt{3};0)$. Gọi $S=(x;y;z)$ với $SA=SB=SC=7$. Từ $SA=SB$ suy ra $x=\frac{3}{2}$. Từ $SA=SC$: $x^2+y^2+z^2=49$ và $(x+3{)}^2+(y-3\sqrt{3}{)}^2+z^2=49$ suy ra $6x+9-6\sqrt{3}y+27=0\Rightarrow 9+9-6\sqrt{3}y+27=0\Rightarrow y=\frac{45}{6\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$. Khi đó $z^2=49-\frac{9}{4}-\frac{75}{4}=28\Rightarrow z=2\sqrt{7}$, tức $S=\left(\frac{3}{2};\frac{5\sqrt{3}}{2};2\sqrt{7}\right)$. Vecto pháp tuyến của $(SAB)$: $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AS}=(3;0;0)\times \left(\frac{3}{2};\frac{5\sqrt{3}}{2};2\sqrt{7}\right)=\left(0;-6\sqrt{7};\frac{15\sqrt{3}}{2}\right)$. Mặt phẳng $(SAB)$: $-6\sqrt{7}y+\frac{15\sqrt{3}}{2}z=0$. Khoảng cách từ $C=(-3;3\sqrt{3};0)$: $d=\frac{|-6\sqrt{7}\cdot 3\sqrt{3}|}{\sqrt{252+\frac{675}{4}}}=\frac{18\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{1683}}{2}}=\frac{36\sqrt{21}}{3\sqrt{187}}=\frac{12\sqrt{21}}{\sqrt{187}}\approx 4.02$ cm. Vậy khoảng cách từ $C$ đến $(SAB)$ xấp xỉ $4.02$ cm.