Cho $x,y$ là các số thực thay đổi thoả mãn $10^{x^2+y^2+2}+\log \frac{x^2+y^2+2}{4x+6y-7}\le 10^{4x+6y-7}$. Tập giá trị của biểu thức $P=x^2+y^2-20x+8y$ có bao nhiêu số nguyên?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a=x^2+y^2+2\ge 2$ và $b=4x+6y-7$ (cần $b>0$ để log có nghĩa). Bất đẳng thức trở thành $10^a+\log \frac{a}{b}\le 10^b$. Nếu $a>b$ thì $10^a>10^b$ và $\log \frac{a}{b}>0$, suy ra vế trái $>10^b$: vô lý. Vậy phải có $a\le b$; ngược lại khi $a\le b$ thì $10^a\le 10^b$ và $\log \frac{a}{b}\le 0$ nên bất đẳng thức luôn đúng. Do đó điều kiện tương đương $x^2+y^2+2\le 4x+6y-7⟺(x-2{)}^2+(y-3{)}^2\le 4$ (điều kiện $4x+6y-7>0$ tự động thỏa vì $x^2+y^2+2>0$). Tập điểm là đĩa tròn tâm $I(2;3)$ bán kính $r=2$. Ta có $P=x^2+y^2-20x+8y=(x-10{)}^2+(y+4{)}^2-116$; khoảng cách từ $(10;-4)$ đến $I(2;3)$ là $d=\sqrt{64+49}=\sqrt{113}\approx 10,63$. Suy ra $P\in \left[(d-2{)}^2-116;(d+2{)}^2-116\right]=\left[1-4\sqrt{113};1+4\sqrt{113}\right]\approx [-41,52;43,52]$. Số giá trị nguyên của $P$: từ $-41$ đến $43$, tức $43-(-41)+1=85$.