Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+2x-2}{x+3}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+2)(x+3)-(x^2+2x-2)}{(x+3{)}^2}=\frac{x^2+6x+8}{(x+3{)}^2}=\frac{(x+2)(x+4)}{(x+3{)}^2}$.

a) Trên $(-4;-2)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến. Đúng.

b) $f(0)=-\frac{2}{3}$, $f^{\prime }(0)=\frac{8}{9}$. Tiếp tuyến: $y=\frac{8}{9}x-\frac{2}{3}$. Giao với $Ox$: $x=\frac{3}{4}$; giao với $Oy$: $y=-\frac{2}{3}$. Diện tích $=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{4}$. Đúng.

c) Đặt $t=x+3$, khi đó $x^2+2x-2=t^2-4t+1$, phương trình trở thành $t^2-4t+1=m|t|$.
- Với $t>0$: $t^2-(m+4)t+1=0$, tích hai nghiệm $1>0$ nên cần tổng $m+4>0$ và $\Delta >0\iff m+4>2\iff m>-2$: có 2 nghiệm dương phân biệt.
- Với $t<0$: $t^2+(m-4)t+1=0$, cần tổng $-(m-4)<0$ và $\Delta >0\iff m-4>2\iff m>6$: có 2 nghiệm âm phân biệt.
Vậy 4 nghiệm phân biệt $\iff m>6$. Các số nguyên trong $[-2025;2025]$: từ 7 đến 2025 gồm $2025-7+1=2019$ giá trị. Đúng.

d) $f$ tăng trên $(-\infty ;-4)$, giảm trên $(-4;-3)$ và $(-3;-2)$, tăng trên $(-2;+\infty )$; $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-4$ và $x=-2$.
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x^2-2x-m)(2x-2)$. Để $g$ có 5 điểm cực trị cần: $x=1$; $x^2-2x-m=-4$ có 2 nghiệm phân biệt $\iff \Delta =4(m-3)>0\iff m>3$; $x^2-2x-m=-2$ có 2 nghiệm phân biệt $\iff m>1$; các nghiệm này đôi một khác nhau và khác $x=1$ (với $m>3$, $u(1)=-1-m\ne -4,-2$; $u\ne -3$ tại các điểm cực trị). Vậy cần $m>3$: các giá trị nguyên trong $[-10;10]$ là $4,5,6,7,8,9,10$ — đúng 7 giá trị. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x+2)(x+4)}{(x+3{)}^2}<0$ trên $(-4;-2)$ nên hàm nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến $y=\frac{8}{9}x-\frac{2}{3}$ cắt hai trục tại $\frac{3}{4}$ và $-\frac{2}{3}$, diện tích $=\frac{1}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=x+3$: cần $m>-2$ (2 nghiệm dương) và $m>6$ (2 nghiệm âm), tức $m>6$: đúng 2019 giá trị nguyên từ 7 đến 2025.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x^2-2x-m)(2x-2)$ có 5 nghiệm phân biệt khi $m>3$: các giá trị $4,5,6,7,8,9,10$ — đúng 7 giá trị.