Trong hình vẽ bên, các đường cong $\left(C_1\right):y=a^x$; $\left(C_2\right):y=b^x$; $\left(C_3\right):y=c^x$ và các đường thẳng $y=4$; $y=8$ tạo thành hình vuông $MNPQ$ có cạnh bằng 4.
Biết rằng $abc=2^{\frac{x}{y}}$ với $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{x}{y}$ tối giản, giá trị của $x+y$ bằng
[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $MNPQ$ có hai cạnh ngang nằm trên các đường thẳng $y=4$ và $y=8$ (khoảng cách dọc bằng 4 nên cạnh bằng 4), hai cạnh thẳng đứng tại $x=8$ và $x=12$. Theo hình vẽ: $M(8;4)$, $N(8;8)$, $P(12;8)$, $Q(12;4)$.

Bốn đỉnh nằm trên ba đường cong, nên có một đường cong đi qua hai đỉnh. Hai đỉnh cùng tung độ không thể cùng thuộc một đường cong $y=t^x$ (vì $t^{x_1}=4$ và $t^{x_1+4}=4$ vô nghiệm), hai đỉnh cùng hoành độ cũng vậy. Vậy đường cong đó phải đi qua hai đỉnh đối diện $M(8;4)$ và $P(12;8)$; theo hình vẽ đây là $(C_2)$: $b^8=4$, $b^{12}=8$ $\Rightarrow b^4=2\Rightarrow b=2^{1/4}$.

Khi đó đỉnh $N(8;8)$ thuộc $(C_1)$: $a^8=8\Rightarrow a=2^{3/8}$; đỉnh $Q(12;4)$ thuộc $(C_3)$: $c^{12}=4\Rightarrow c=2^{1/6}$.

Do đó $abc=2^{1/4+3/8+1/6}=2^{(6+9+4)/24}=2^{19/24}$. Vậy $\frac{x}{y}=\frac{19}{24}$ tối giản và $x+y=19+24=43$. Chọn C.