Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm của cạnh $SC$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $(AGM)$. Tỉ số $\frac{KS}{KD}$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $A$: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$. Trọng tâm tam giác $ABC$: $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Trung điểm $SC$: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{2}$. Điểm $K$ trên $SD$: $\overrightarrow{AK}=(1-\lambda )\vec{s}+\lambda \vec{d}$ với $\lambda =\frac{SK}{SD}$. Vì $K\in (AGM)$ nên $\overrightarrow{AK}=\alpha \overrightarrow{AG}+\beta \overrightarrow{AM}$. So sánh hệ số: theo $\vec{s}$: $1-\lambda =\frac{\beta }{2}$; theo $\vec{b}$: $0=\frac{2\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}\Rightarrow \alpha =-\frac{3\beta }{4}$; theo $\vec{d}$: $\lambda =\frac{\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}=\frac{\beta }{4}$. Suy ra $1-\frac{\beta }{4}=\frac{\beta }{2}\Rightarrow \beta =\frac{4}{3}$, $\lambda =\frac{1}{3}$. Vậy $\frac{KS}{KD}=\frac{\lambda }{1-\lambda }=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}=0,5$, khớp với bảng đáp án mã đề 1001, câu 17: 0,5.