Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $SB$, $BC$ và $SD$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: M, P lần lượt là trung điểm SB, SD nên MP là đường trung bình của tam giác SBD, suy ra MP // BD. Đường thẳng SC nằm trong mặt phẳng (SBC) và cắt mặt phẳng (ABCD) tại C, mà C không thuộc BD, nên SC và BD chéo nhau; do đó MP và SC chéo nhau (không cắt nhau).
b) Đúng: (SAB) và (SAC) có chung hai điểm S, A phân biệt, nên giao tuyến là đường thẳng SA.
c) Đúng: Trong tam giác SBC, MN là đường trung bình nên MN // SC; trong tam giác SCD, NP là đường trung bình nên NP // CD. Mặt khác MP // BD (đường trung bình tam giác SBD). Mặt phẳng (MNP) chứa đường thẳng MP // BD, trong khi BD nằm trong (ABCD); N thuộc cả (MNP) (vì N ∈ NP) và thuộc (ABCD). Vậy giao tuyến của (MNP) và (ABCD) là đường thẳng qua N và song song với BD.
d) Đúng: Dùng tọa độ, lấy S làm gốc, đặt vectơ SA = a, SB = b, SC = c; vì ABCD là hình bình hành nên SD = a + c − b. Khi đó M = b/2, N = (b+c)/2, P = (a+c−b)/2. Điểm K trên SA có dạng K = t·a và K thuộc (MNP): t·a = α·(b/2) + β·(b+c)/2 + γ·(a+c−b)/2 với α+β+γ = 1. So sánh hệ số: hệ số của c cho β + γ = 0 ⇒ β = −γ; hệ số của b cho α + β − γ = 0 ⇒ α = 2γ; hệ số của a cho t = γ/2. Từ α+β+γ = 2γ − γ + γ = 2γ = 1 ⇒ γ = 1/2, suy ra t = 1/4. Vậy SK/SA = 1/4. Kết quả khớp đáp án nguồn SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
MP là đường trung bình tam giác SBD nên MP // BD; SC và BD chéo nhau (SC cắt (ABCD) tại C không thuộc BD), do đó MP và SC chéo nhau, không cắt nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) có chung hai điểm phân biệt S, A nên giao tuyến là SA.
c) (AI giải đề cho tôi)
MN // SC, NP // CD, MP // BD; N thuộc cả hai mặt phẳng, nên giao tuyến là đường thẳng qua N song song với BD.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ với S gốc, SD = SA + SC − SB. Giải hệ biểu diễn K = t·SA qua M, N, P với tổng hệ số bằng 1 được t = 1/4, tức SK/SA = 1/4.