Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $E$ là trung điểm của $BC$, $I$ là trung điểm của $SA$. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),C(1;1;0),S(0;0;2)$. Khi đó $O(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$, $E(1;\frac{1}{2};0)$, $I(0;0;1)$.

a) Đúng. Đường thẳng $IE$: $(t;\frac{t}{2};1-t)$. Mặt phẳng $(SBD)$ qua $S,B,D$ có phương trình $2x+2y+z=2$. Thay vào: $2t+t+1-t=2\Rightarrow t=\frac{1}{2}$, tức $J$ với $\frac{IJ}{IE}=\frac{1}{2}$.

b) Sai. Mặt phẳng $(SCD)$ có phương trình $2y+z=2$. Đường $IE$ thay vào cho $2\cdot \frac{t}{2}+(1-t)=1\ne 2$ nên $IE\parallel (SCD)$. Mặt khác $OE$ có vectơ chỉ phương $(1;0;0)$ cùng phương với $DC$ nên $OE\parallel (SCD)$. Vectơ pháp tuyến của $(IOE)$ là $OE\times OI=(0;-1;-\frac{1}{2})$ cùng phương với $(0;2;1)$ — pháp tuyến của $(SCD)$. Vậy $(IOE)\parallel (SCD)$, hai mặt phẳng không cắt nhau, không tồn tại giao tuyến song song với $OE$.

c) Đúng. $O$ là trung điểm $AC$, $E$ là trung điểm $BC$ nên trong tam giác $ABC$, $OE\parallel AB\parallel DC$ với $DC\subset (SCD)$, $OE\not\subset (SCD)$. Vậy $OE\parallel (SCD)$.

d) Đúng. Theo lập luận trên $OE\parallel AB$ (đường trung bình của tam giác $ABC$).

Kết quả khớp bảng đáp án chính thức MD 1111: Đ – S – Đ – Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong hệ tọa độ đã chọn, đường thẳng $IE$: $(t;\frac{t}{2};1-t)$ cắt mặt phẳng $(SBD):2x+2y+z=2$ tại $t=\frac{1}{2}$, nên $\frac{IJ}{IE}=\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cả $OE\parallel DC\parallel (SCD)$ và $IE\parallel (SCD)$ (thay phương trình $IE$ vào $(SCD):2y+z=2$ cho $1\ne 2$), và pháp tuyến của $(IOE)$ là $(0;-1;-\frac{1}{2})$ cùng phương $(0;2;1)$. Vậy $(IOE)\parallel (SCD)$, hai mặt phẳng không có giao tuyến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$O$ trung điểm $AC$, $E$ trung điểm $BC$ nên $OE\parallel AB\parallel DC\subset (SCD)$ và $OE\not\subset (SCD)$, suy ra $OE\parallel (SCD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$OE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $OE\parallel AB$.