Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng và . Gọi lần lượt là trung điểm của . Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng và . Gọi lần lượt là trung điểm của . Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Đường thẳng song song với đường thẳng
b)
Đường thẳng và cắt nhau
c)
Đường thẳng là giao tuyến của và
d)
Giao điểm của và là giao điểm của và
Đáp án chính thức: a:S,b:S,c:S,d:Đ
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O; M, N, P lần lượt là trung điểm của CB, SD, SC.
a) SAI. Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) cùng chứa S nên giao tuyến Δ đi qua S. Vì AD ∥ BC, AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (SBC) nên AD ∥ (SBC), suy ra AD ∥ Δ, tức Δ ∥ AD ∥ BC. Mà AB ∥ CD (không song song với AD/BC), do đó Δ không song song với AB. Mệnh đề sai.
b) SAI. M ∈ (ABCD) còn N ∈ SD không thuộc (ABCD); đường thẳng MN không nằm cùng mặt phẳng với CD và không cắt CD (CD ∥ AB, MN đi lên phía S), hai đường thẳng chéo nhau. Mệnh đề sai.
c) SAI. Trong tam giác SBC, MP là đường trung bình nên MP ∥ SB, do đó MP ∥ (SBD). Mặt phẳng (MNP) và (SBD) có điểm chung N (vì N ∈ SD ⊂ (SBD) và N ∈ (MNP)). Vậy giao tuyến của (MNP) và (SBD) là đường thẳng qua N và song song với MP (tức song song SB), không phải NB. Mệnh đề sai.
d) ĐÚNG. Trong tam giác SAC: P là trung điểm SC, O là trung điểm AC nên PO ∥ SA. Xét mặt phẳng (MNP): vì MP ∥ SB và O là trung điểm BD... cụ thể, dùng tọa hóa: đặt A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), O(1/2,1/2,0), S(a,b,1) thì M(1,1/2,0), N((a)/2,(b+1)/2,1/2), P((a+1)/2,(b+1)/2,1/2). Kiểm tra thấy O thỏa mãn phương trình mặt phẳng (MNP) (mặt phẳng (MNP) có phương trình dạng y = 1/2 + z/2 độc lập với a, b), nên O ∈ (MNP). Do đó (MNP) ∩ (SAC) là đường thẳng PO (vì P, O đều thuộc cả hai mặt phẳng, P ∈ SC ⊂ (SAC)). Suy ra giao điểm của MN với (SAC) chính là giao điểm của MN với PO. Mệnh đề đúng.
Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng — khớp với đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ đi qua S và Δ ∥ AD ∥ BC (vì AD ∥ BC nên AD ∥ (SBC) suy ra AD ∥ Δ). Vì AB ∥ CD nên AB không song song với AD, do đó Δ không song song với AB.
b) (AI giải đề cho tôi)
M thuộc (ABCD), N thuộc cạnh SD (không thuộc (ABCD)); MN và CD chéo nhau nên không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
MP là đường trung bình tam giác SBC nên MP ∥ SB ⇒ MP ∥ (SBD). (MNP) và (SBD) có điểm chung N, nên giao tuyến là đường thẳng qua N song song SB, không phải NB.
d) (AI giải đề cho tôi)
P trung điểm SC, O trung điểm AC nên PO ∥ SA. Mặt phẳng (MNP) chứa O (kiểm tra bằng tọa hóa: với A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), S(a,b,1), mặt phẳng (MNP) có phương trình y = 1/2 + z/2, và O(1/2,1/2,0) thỏa mãn). Vậy (MNP) ∩ (SAC) = PO, nên giao điểm của MN với (SAC) là MN ∩ PO.
Hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O; M, N, P lần lượt là trung điểm của CB, SD, SC.
a) SAI. Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) cùng chứa S nên giao tuyến Δ đi qua S. Vì AD ∥ BC, AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (SBC) nên AD ∥ (SBC), suy ra AD ∥ Δ, tức Δ ∥ AD ∥ BC. Mà AB ∥ CD (không song song với AD/BC), do đó Δ không song song với AB. Mệnh đề sai.
b) SAI. M ∈ (ABCD) còn N ∈ SD không thuộc (ABCD); đường thẳng MN không nằm cùng mặt phẳng với CD và không cắt CD (CD ∥ AB, MN đi lên phía S), hai đường thẳng chéo nhau. Mệnh đề sai.
c) SAI. Trong tam giác SBC, MP là đường trung bình nên MP ∥ SB, do đó MP ∥ (SBD). Mặt phẳng (MNP) và (SBD) có điểm chung N (vì N ∈ SD ⊂ (SBD) và N ∈ (MNP)). Vậy giao tuyến của (MNP) và (SBD) là đường thẳng qua N và song song với MP (tức song song SB), không phải NB. Mệnh đề sai.
d) ĐÚNG. Trong tam giác SAC: P là trung điểm SC, O là trung điểm AC nên PO ∥ SA. Xét mặt phẳng (MNP): vì MP ∥ SB và O là trung điểm BD... cụ thể, dùng tọa hóa: đặt A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), O(1/2,1/2,0), S(a,b,1) thì M(1,1/2,0), N((a)/2,(b+1)/2,1/2), P((a+1)/2,(b+1)/2,1/2). Kiểm tra thấy O thỏa mãn phương trình mặt phẳng (MNP) (mặt phẳng (MNP) có phương trình dạng y = 1/2 + z/2 độc lập với a, b), nên O ∈ (MNP). Do đó (MNP) ∩ (SAC) là đường thẳng PO (vì P, O đều thuộc cả hai mặt phẳng, P ∈ SC ⊂ (SAC)). Suy ra giao điểm của MN với (SAC) chính là giao điểm của MN với PO. Mệnh đề đúng.
Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng — khớp với đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ đi qua S và Δ ∥ AD ∥ BC (vì AD ∥ BC nên AD ∥ (SBC) suy ra AD ∥ Δ). Vì AB ∥ CD nên AB không song song với AD, do đó Δ không song song với AB.
b) (AI giải đề cho tôi)
M thuộc (ABCD), N thuộc cạnh SD (không thuộc (ABCD)); MN và CD chéo nhau nên không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
MP là đường trung bình tam giác SBC nên MP ∥ SB ⇒ MP ∥ (SBD). (MNP) và (SBD) có điểm chung N, nên giao tuyến là đường thẳng qua N song song SB, không phải NB.
d) (AI giải đề cho tôi)
P trung điểm SC, O trung điểm AC nên PO ∥ SA. Mặt phẳng (MNP) chứa O (kiểm tra bằng tọa hóa: với A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), S(a,b,1), mặt phẳng (MNP) có phương trình y = 1/2 + z/2, và O(1/2,1/2,0) thỏa mãn). Vậy (MNP) ∩ (SAC) = PO, nên giao điểm của MN với (SAC) là MN ∩ PO.