Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Trên các cạnh $SB,SD$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $O$ và song song với mặt phẳng $(AMN)$ cắt $SC$ tại $J$. Tính tỉ số $\frac{SJ}{SC}$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ độc lập $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $\overrightarrow{SA}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{c}$ và $\overrightarrow{SO}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$. Ta có $\overrightarrow{SM}=\frac{2}{3}\vec{b}$, $\overrightarrow{SN}=\frac{2}{3}\vec{d}$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{SM}-\overrightarrow{SA}=-\frac{1}{3}\vec{b}-\vec{d}+\vec{c}$ và $\overrightarrow{AN}=-\vec{b}-\frac{1}{3}\vec{d}+\vec{c}$. Gọi $t=\frac{SJ}{SC}$, tức $\overrightarrow{SJ}=t\vec{c}$. Vì $(\alpha )$ qua $O$ song song $(AMN)$ nên $\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{SJ}-\overrightarrow{SO}=t\vec{c}-\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}=\lambda \overrightarrow{AM}+\mu \overrightarrow{AN}$. So sánh hệ số theo $\vec{b},\vec{d}$: $\frac{\lambda }{3}+\mu =\frac{1}{2}$ và $\lambda +\frac{\mu }{3}=\frac{1}{2}$, giải ra $\lambda =\mu =\frac{3}{8}$. Hệ số theo $\vec{c}$: $t=\lambda +\mu =\frac{3}{4}=0,75$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,75$.