Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Tính diện tích hình chiếu của tam giác $△SBC$ lên mặt phẳng $(SAC)$ biết $SA=AB=2a$; $AD=a$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống $AC$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BH$; mà $BH\perp AC$ nên $BH\perp (SAC)$. Do đó hình chiếu của $△SBC$ lên $(SAC)$ là $△SHC$ (vì $S,C$ đã thuộc $(SAC)$). Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB=2a$, $BC=AD=a$, nên $AC=a\sqrt{5}$. Diện tích: $BH=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{2a^2}{a\sqrt{5}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}$; $HC=\frac{B{C}^2}{AC}=\frac{a}{\sqrt{5}}$. Trong tam giác vuông $SAC$ (vuông tại $A$): $S{H}^2=S{A}^2+A{H}^2$ với $AH=AC-HC=a\sqrt{5}-\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{4a}{\sqrt{5}}$, nên $S{H}^2=4a^2+\frac{16a^2}{5}=\frac{36a^2}{5}\Rightarrow SH=\frac{6a}{\sqrt{5}}$. Diện tích hình chiếu: $S_{SHC}=\frac{1}{2}\cdot HC\cdot SH=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{\sqrt{5}}\cdot \frac{6a}{\sqrt{5}}=\frac{3a^2}{5}$.