Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O,AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A=(0;0;0)$, $B=(4a;0;0)$, $D=(-2a;2a\sqrt{3};0)$, $C=(2a;2a\sqrt{3};0)$ (vì $\widehat{BAD}=120^{\circ }$). Suy ra $O=(a;a\sqrt{3};0)$, $H=(a/2;a\sqrt{3}/2;0)$, $S=(a/2;a\sqrt{3}/2;a\sqrt{3})$.

a) Sai. Vì $AC\perp (BD)$ và $AC\perp SH$ nên $AC\perp (SBH)$, do đó hình chiếu của $B$ lên $(SAC)$ là chân đường vuông góc từ $B$ xuống $SH$, góc tạo bởi $SB$ và $(SAC)$ là $\widehat{SBK}$ (góc ở đỉnh $B$), không phải $\widehat{BSH}$ (góc ở đỉnh $S$). Thật vậy $\tan \widehat{SBK}=\frac{SH}{HB}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{a^2+12a^2}}=\sqrt{\frac{3}{13}}$, còn $\tan \widehat{BSH}=\frac{HB}{SH}=\sqrt{\frac{13}{3}}$.

b) Đúng. $AC=4a$, $BD=4a\sqrt{3}$, $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot 4a\sqrt{3}=8a^2\sqrt{3}$, nên $V=\frac{1}{3}\cdot 8a^2\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=8a^3$.

c) Sai. Vectơ pháp tuyến của $(SCD)$: $\overrightarrow{DC}=(4a;0;0)$, $\overrightarrow{DS}=\left(\frac{5a}{2};-\frac{3a\sqrt{3}}{2};a\sqrt{3}\right)$, nên $\vec{n}=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}\propto (0;2;3)$. Mặt $(ACD)$ có pháp tuyến $(0;0;1)$, suy ra $\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{13}}$, $\tan \alpha =\frac{2}{3}\ne \frac{3}{2}$.

d) Đúng. $M=(0;2a\sqrt{3};0)$, $N=(3a;a\sqrt{3};0)$, $P=\left(\frac{a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. Với $\vec{u}=\overrightarrow{PN}=\left(\frac{11a}{4};\frac{3a\sqrt{3}}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $\vec{v}=\overrightarrow{SM}=\left(-\frac{a}{2};\frac{3a\sqrt{3}}{2};-a\sqrt{3}\right)$: $\vec{u}\times \vec{v}=\left(0;3a^2\sqrt{3};\frac{9a^2\sqrt{3}}{2}\right)$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=\frac{3a^2\sqrt{39}}{2}$. Với $\overrightarrow{SP}=\left(-\frac{a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$: $d(PN,SM)=\frac{|\overrightarrow{SP}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{|\vec{u}\times \vec{v}|}=\frac{9a^2}{\frac{3a^2\sqrt{39}}{2}}=\frac{6a}{\sqrt{39}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $B$ lên $(SAC)$ là chân đường vuông góc từ $B$ xuống $SH$ (vì $AC\perp (SBH)$), nên góc cần tìm là $\widehat{SBK}$ với $\tan =\sqrt{3/13}$, khác $\widehat{BSH}$ có $\tan =\sqrt{13/3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot 4a\sqrt{3}=8a^2\sqrt{3}$, $V=\frac{1}{3}\cdot 8a^2\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=8a^3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $(SCD)$ tỉ lệ $(0;2;3)$, pháp tuyến $(ACD)$ là $(0;0;1)$, suy ra $\tan \alpha =\frac{2}{3}\ne \frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính bằng tọa độ: $d(PN,SM)=\frac{|\overrightarrow{SP}\cdot (\overrightarrow{PN}\times \overrightarrow{SM})|}{|\overrightarrow{PN}\times \overrightarrow{SM}|}=\frac{9a^2}{\frac{3a^2\sqrt{39}}{2}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.