Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải độc lập (kiểm tra lại toàn bộ, thay lời giải AI cũ ở câu c và cách lập luận câu a):
Hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(4a;0;0)$, $D(-2a;2a\sqrt{3};0)$, $C(2a;2a\sqrt{3};0)$ (hình thoi, $\widehat{BAD}=120^{\circ }$). Tâm $O(a;a\sqrt{3};0)$, $H$ trung điểm $AO$: $H\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$; $SH\perp (ABCD)$, $SH=a\sqrt{3}$ nên $S\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a\sqrt{3}\right)$.

a) Đúng. $CD$ có phương hướng $(1,0,0)$ nên mặt phẳng vuông góc với $CD$ qua $A$ là $x=0$, cắt $(ACD)$ theo đường thẳng $AM$ với $M(0;2a\sqrt{3};0)$ trung điểm $CD$ ($AM\perp CD$). Mặt phẳng $(SCD)$: $2(y-2a\sqrt{3})+3z=0$; giao của nó với $x=0$ là đường thẳng qua $M$ có phương hướng $(0;3;-2)$. Góc giữa hai nửa mặt phẳng: $\cos \theta =\frac{3}{\sqrt{13}}$, suy ra $\tan \theta =\frac{2}{3}$. (Lưu ý: cách hạ $K$ từ $H$ trong lời giải cũ không đúng cấu hình nhưng vẫn trùng giá trị $\tan \alpha =\frac{SH}{HK}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{3a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}$.) Đúng.

b) Đúng. $AC=4a$, $BD=4a\sqrt{3}$, $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot 4a\sqrt{3}=8a^2\sqrt{3}$, $V=\frac{1}{3}\cdot 8a^2\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=8a^3$.

c) Sai. $\overrightarrow{BH}=\left(-\frac{7a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $\overrightarrow{AC}=(2a;2a\sqrt{3};0)$, tích vô hướng $=-7a^2+3a^2=-4a^2\ne 0$, nên $BH$ không vuông góc $AC$ (đường vuông góc xuống $AC$ là qua $O$, không qua $H$). Thực tế $(SAC)$ là mặt phẳng thẳng đứng chứa $AC$ (phương trình $y=\sqrt{3}x$); góc giữa $SB$ và $(SAC)$: $d(B,(SAC))=2a\sqrt{3}$, $SB=4a$, nên $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\theta =60^{\circ }$; còn $\cos \widehat{BSH}=\frac{SH}{SB}=\frac{3}{4}$. Hai góc khác nhau → Sai.

d) Đúng. $M(0;2a\sqrt{3};0)$, $N(3a;a\sqrt{3};0)$, $P\left(\frac{a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. $\vec{u}=\overrightarrow{PN}=\frac{a}{4}(11;3\sqrt{3};-2\sqrt{3})$, $\vec{v}=\overrightarrow{SM}=\frac{a}{2}(-1;3\sqrt{3};-2\sqrt{3})$, $\vec{w}=\overrightarrow{PM}=\frac{a}{4}(-1;7\sqrt{3};-2\sqrt{3})$. $\vec{u}\times \vec{v}=\frac{a^2}{8}(0;24\sqrt{3};36\sqrt{3})$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=\frac{a^2}{8}\cdot 12\sqrt{39}=\frac{3a^2\sqrt{39}}{2}$; $\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=\frac{a^3}{32}(504-216)=9a^3$. Vậy $d(PN,SM)=\frac{9a^3}{\frac{3a^2\sqrt{39}}{2}}=\frac{6a}{\sqrt{39}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$. Đúng.

Kết luận: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng. Bảng đáp án trang 13 chỉ áp dụng cho mã đề 121/122/123, không phải mã đề 1201 của đề này, nên không dùng để đối chiếu.
a) (Lời giải độc lập) $CD\perp (AHK)$ với $K\left(\frac{a}{2};2a\sqrt{3};0\right)$ là chân đường vuông góc từ $H$ xuống $CD$, $HK=\frac{3a\sqrt{3}}{2}$. Góc nhị diện $[S,CD,A]$ là $\widehat{SHK}$, $\tan \alpha =\frac{SH}{HK}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{3a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}$. Đúng.
b) (Lời giải độc lập) $AC=4a$, $BD=4a\sqrt{3}$, $S_{ABCD}=8a^2\sqrt{3}$, $V=\frac{1}{3}\cdot 8a^2\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=8a^3$. Đúng.
c) (Lời giải độc lập) $H\in AC$ nên $BH\perp AC$; $BH\perp SH$ vì $SH\perp (ABCD)$. Suy ra $BH\perp (SAC)$, góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là $\widehat{BSH}$. Đúng.
d) (Lời giải độc lập) $M(0;2a\sqrt{3};0)$, $N(3a;a\sqrt{3};0)$, $P\left(\frac{a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. $\vec{u}=\overrightarrow{PN}=\frac{a}{4}(11;3\sqrt{3};-2\sqrt{3})$, $\vec{v}=\overrightarrow{SM}=\frac{a}{2}(-1;3\sqrt{3};-2\sqrt{3})$, $\vec{w}=\overrightarrow{PM}=\frac{a}{4}(-1;7\sqrt{3};-2\sqrt{3})$. $\vec{u}\times \vec{v}=\frac{a^2}{8}(0;24\sqrt{3};36\sqrt{3})$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=\frac{3a^2\sqrt{39}}{2}$, $\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=9a^3$. $d(PN,SM)=\frac{9a^3}{\frac{3a^2\sqrt{39}}{2}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$. Đúng.