Cho hàm đa thức $y=f(x)$ có đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình vẽ bên

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(-1)=0$, $f^{\prime }(2)=0$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ với $x<-1$ và $x>2$; trên $[-1;1]$ hàm $f^{\prime }$ tăng từ $0$ lên giá trị lớn nhất (khoảng $4$ tại gần $x=0$) rồi giảm, với $f^{\prime }(1)=2<3$.

a) Sai. Xét $f^{\prime }(t)=3$ với $t=\cos x\in [-1;1]$: do $f^{\prime }(-1)=0$, $f^{\prime }$ tăng đến giá trị lớn nhất $>3$ rồi giảm xuống $f^{\prime }(1)=2<3$, nên phương trình $f^{\prime }(t)=3$ có hai nghiệm $t_1\in (-1;0)$ và $t_2\in (0;1)$. Với $t_1<0$: $\cos x=t_1$ có 2 nghiệm trong $[0;5\pi /2]$ (nghiệm $2\pi +\alpha >5\pi /2$ vì $\alpha >\pi /2$). Với $t_2>0$: $\cos x=t_2$ có 3 nghiệm trong $[0;5\pi /2]$ (vì $\alpha <\pi /2$ nên $2\pi +\alpha \le 5\pi /2$). Tổng cộng 5 nghiệm, không phải 4. (Hoặc nếu dùng mô hình $f^{\prime }(x)=-x^2+x+2$ thì chỉ có $t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\in [-1;1]$, cho 2 nghiệm — cũng không phải 4.) Vậy khẳng định a sai.

b) Sai. $y=f(x-2026)-2025x+2024$ nên $y^{\prime }=f^{\prime }(x-2026)-2025$. Vì giá trị lớn nhất của $f^{\prime }$ trên đồ thị chỉ bằng $4<2025$ nên $y^{\prime }<0$ với mọi $x$: hàm số luôn nghịch biến, không có điểm cực trị.

c) Sai. Trên $(0;2)$ đồ thị $f^{\prime }$ nằm trên trục hoành, tức $f^{\prime }(x)>0$, nên $f$ đồng biến (không nghịch biến) trên $(0;2)$.

d) Sai. $f$ nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$, đồng biến trên $(-1;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$, nên $x=-1$ và $x=2$ đều là điểm cực tiểu địa phương. Tuy nhiên không thể kết luận ${\min }_{\mathbb{R}}f(x)=f(-1)$: cần so sánh $f(-1)$ với $f(2)$, mà đồ thị $f^{\prime }$ không cho biết điều này; hơn nữa $f$ là đa thức và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\to \pm \infty$ (theo dáng đồ thị) nên $f(x)$ có thể giảm vô hạn, khi đó $f$ không có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$. Vậy khẳng định d sai.

Kết luận: cả bốn ý a, b, c, d đều sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [-1;1], f'(t)=3 có hai nghiệm t1∈(-1;0), t2∈(0;1) (vì max f'≈4>3 và f'(1)=2<3). cos x=t1 (t1<0) cho 2 nghiệm trong [0;5π/2]; cos x=t2 (t2>0) cho 3 nghiệm. Tổng 5 nghiệm ≠ 4 nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
y'=f'(x-2026)-2025. Vì max f' = 4 < 2025 nên y'<0 với mọi x, hàm không có điểm cực trị. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0;2) có f'(x)>0 nên f đồng biến, không nghịch biến. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
x=-1 và x=2 đều là điểm cực tiểu địa phương của f; không thể kết luận min trên ℝ bằng f(-1) (cần so sánh f(-1) và f(2), và f có thể không có min trên ℝ vì f'<0 khi x→±∞). Sai.