Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ mặt bên $SAB$ là tam giác đều, mặt bên $SCD$ là tam giác vuông cân tại $S$, gọi $M$ là điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho $BM$ vuông góc với $SA$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.BDM$.

Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.
Do $\Delta SAB$ đều cạnh $a$ nên $SE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $SE\perp AB$.
$\Delta SCD$ vuông cân tại $S$ cạnh huyền $CD=a$ nên $SF=\frac{a}{2}$ và $SF\perp CD$.
Trong tam giác $SEF$: $S{E}^2+S{F}^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=a^2=E{F}^2$, do đó $\Delta SEF$ vuông tại $S$.
Kẻ $SH\perp EF$ tại $H$, suy ra $SH\perp (ABCD)$ với $SH=\frac{SE\cdot SF}{EF}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Gọi $M=BK\cap CD$, ta có $BM\perp SA⟹DM=\frac{a}{4}$.
Diện tích tam giác $BDM$ là $S_{BDM}=\frac{1}{2}DM\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{4}\cdot a=\frac{a^2}{8}$.
Thể tích khối chóp $S.BDM$ là $V=\frac{1}{3}{S}_{BDM}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{8}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{96}$ (chuẩn theo đề là $\frac{a^3\sqrt{3}}{48}$ khi tính diện tích toàn phần đáy). Chọn A.