Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA\perp (ABCD)$ , $SA=4a$ .

a) Chứng minh rằng $(SBC)\perp (SAB)$ . $(1,0điểm)$

b) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ . $(1,0điểm)$

c) Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SA$ và $T$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $ST=\frac{2}{3}SB$. Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(CMT)$ . $(1,0điểm)$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,4a).

a) Vì ABCD là hình vuông nên BC⊥AB; vì SA⊥(ABCD) nên SA⊥BC. Từ đó BC⊥(SAB). Mà BC nằm trong (SBC), nên (SBC)⊥(SAB) (đpcm).

b) Vì BC⊥(SAB) nên B là hình chiếu của C lên (SAB), góc giữa SC và (SAB) là góc SCB. Tam giác SBC vuông tại B: SB=√(SA²+AB²)=a√17, BC=a, nên tan∠SCB = BC/SB = 1/√17. Vậy góc cần tìm bằng arctan(1/√17) ≈ 13°38′ (≈13,63°).

c) M là trung điểm SA: M(0,0,2a). T trên SB với ST=⅔SB: T = S + ⅔(B−S) = (2a/3, 0, 4a/3).
Vectơ CM = (−a,−a,2a), CT = (−a/3,−a,4a/3). Vectơ pháp tuyến n = CM×CT = (2a²/3, 2a²/3, 2a²/3) ∝ (1,1,1). Mặt phẳng (CMT): x+y+z = 2a.
Khoảng cách từ D(0,a,0): d(D,(CMT)) = |0+a+0−2a|/√3 = a/√3 = a√3/3.