Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Giá trị tang của góc phẳng nhị diện $[A,BD,A^{\prime }]$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[A,BD,A^{\prime }]$ có cạnh $BD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $AO\perp BD$ (vì $ABCD$ là hình vuông). Trong mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$, tam giác $A^{\prime }BD$ cân tại $A^{\prime }$ ($A^{\prime }B=A^{\prime }D=a\sqrt{2}$) nên $A^{\prime }O\perp BD$. Vậy góc nhị diện là $\widehat{A^{\prime }OA}$. Ta có $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $A{A}^{\prime }=a$ và $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp AO$. Do đó $\tan \widehat{A^{\prime }OA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AO}=\frac{a}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}$. Chọn đáp án C.