Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;2;0), C(2;2;0), O(1;1;0), S(0;0;h).
a) MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MN ∥ AD ∥ BC. O là trung điểm AC, M là trung điểm SA nên OM là đường trung bình của tam giác SAC, suy ra OM ∥ SC. Vì MN ∥ BC, OM ∥ SC với BC, SC nằm trong (SBC) và cắt nhau, nên (OMN) ∥ (SBC). Đúng.
b) N = (0;1;h/2), E = (1;0;0). F thuộc ON: F = (1−t; 1; th/2), t∈[0;1]. Vecto EF = (−t; 1; th/2). Mặt phẳng (SBC) có phương trình 2hx + 4z = 4h. Kiểm tra: 2h(−t) + 4·(th/2) = 0, nên EF luôn song song với (SBC); hơn nữa E không thuộc (SBC) vì 2h·1 + 0 = 2h ≠ 4h. Đúng.
c) MN ∥ AD ∥ BC với BC ⊂ (SBC), MN ⊄ (SBC) (M, N không thuộc mặt phẳng này), nên MN ∥ (SBC). Do đó khẳng định 'MN không song song với (SBC)' là sai.
d) G cách đều AB và CD nên G nằm trên trung tuyến của hình bình hành song song với AB, tức G có tung độ y = 1. Cũng có N = (0;1;h/2) có y = 1, vậy đường thẳng GN nằm hoàn toàn trong mặt phẳng y = 1, song song với mặt phẳng (SAB) (là mặt phẳng y = 0), và GN không nằm trong (SAB). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
MN ∥ BC (đường trung bình tam giác SAD) và OM ∥ SC (đường trung bình tam giác SAC), nên (OMN) ∥ (SBC).
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;2;0), S(0;0;h): E(1;0;0), F(1−t;1;th/2). Vecto EF=(−t;1;th/2) thỏa mãn phương trình mặt (SBC): 2hx+4z=4h cho giá trị không đổi, nên EF ∥ (SBC) với mọi vị trí F trên ON, và E không thuộc (SBC).
c) (AI giải đề cho tôi)
MN ∥ AD ∥ BC ⊂ (SBC) và MN ⊄ (SBC), nên MN song song với (SBC); khẳng định 'không song song' sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
G cách đều AB và CD nên G nằm trên đường trung tuyến song song AB (y=1); N cũng có y=1, nên GN nằm trong mặt phẳng song song với (SAB) và không nằm trong (SAB), suy ra GN ∥ (SAB).