Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$, $M^{\prime }$, $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$; các điểm $I$, $K$, $G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$, $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $AC{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ: $A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A^{\prime }(0,0,1),B^{\prime }(1,0,1),C^{\prime }(0,1,1)$. Khi đó $M(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$, $M^{\prime }(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$, $N(0,1,\frac{1}{2})$, $I(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0)$, $K(\frac{1}{3},\frac{1}{3},1)$, $G(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})$.

a) $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=(0,0,1)=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên $M{M}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$. Đúng.

b) Mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ có phương trình $x+y=1$. Mặt phẳng $(IKG)$: $\overrightarrow{IK}=(0,0,1)$, $\overrightarrow{IG}=(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$, pháp tuyến $(1,1,0)$, phương trình $x+y=\frac{2}{3}$. Hai mặt phẳng song song, không cắt nhau. Sai.

c) Hình chiếu của $K$ và $G$ theo phương $A{A}^{\prime }$ xuống $(ABC)$ là $K_0(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0)$ và $G_0(0,\frac{2}{3},0)$. $\overrightarrow{K_0{G}_0}=(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},0)\parallel (-1,1,0)$, cùng phương với $\overrightarrow{BC}=(-1,1,0)$. Đúng.

d) $\overrightarrow{IG}=(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})\parallel (-1,1,1)$. Mặt phẳng $(MN{C}^{\prime })$: $\overrightarrow{MN}=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$, $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$, pháp tuyến $(1,1,0)$, phương trình $x+y=1$. Vì $\overrightarrow{IG}\cdot (1,1,0)=0$ nên $IG$ song song với mặt phẳng; hơn nữa $I$ có $x+y=\frac{2}{3}\ne 1$ nên $I\notin (MN{C}^{\prime })$. Vậy $IG\parallel (MN{C}^{\prime })$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=(0,0,1)=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ nên $M{M}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(IKG)$ có phương trình $x+y=\frac{2}{3}$ song song với $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: $x+y=1$, nên hai mặt phẳng không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $K,G$ là $K_0(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0)$, $G_0(0,\frac{2}{3},0)$; $\overrightarrow{K_0{G}_0}\parallel \overrightarrow{BC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IG}\parallel (-1,1,1)$ vuông góc pháp tuyến $(1,1,0)$ của $(MN{C}^{\prime })$ và $I\notin (MN{C}^{\prime })$, nên $IG\parallel (MN{C}^{\prime })$.