Một khối đá có hình dạng là một hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Người thợ đá cần cắt viên đá ra thành hai phần bởi một mặt phẳng đi qua hai trung điểm $M$, $N$ của các cạnh bên $SA$, $SB$ và qua tâm $O$ của mặt đáy. Hỏi mặt phẳng $(MNO)$ cắt các mặt của khối đá theo một hình đa giác có bao nhiêu cạnh?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $O(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$, $S(\frac{1}{2};\frac{1}{2};h)$. Khi đó $M(\frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{h}{2})$, $N(\frac{3}{4};\frac{1}{4};\frac{h}{2})$. Mặt phẳng $(MNO)$ có phương trình $z=h(1-2y)$.
- Cắt mặt $(SAB)$ theo đoạn $MN$ (vì $MN\parallel AB$).
- Cắt mặt $(SAD)$: tại $y=\frac{1}{2}$, $z=0$ cho điểm $P$ là trung điểm $AD$, nên được đoạn $MP$.
- Cắt mặt $(SBC)$: tương tự được đoạn $NQ$ với $Q$ là trung điểm $BC$.
- Cắt mặt $(ABCD)$: $z=0\Rightarrow y=\frac{1}{2}$, tức đường thẳng qua $O$ song song $AB$, cho đoạn $PQ$.
- Mặt $(SCD)$: phương trình mặt phẳng cho hệ vô nghiệm trên mặt này (mặt phẳng $(MNO)$ song song với phương chiếu lên $(SCD)$), nên không cắt mặt $(SCD)$.
Vậy thiết diện là tứ giác $MNQP$ có 4 cạnh.