Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, với $AB=a,AD=SA=a\sqrt{3}$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,SA$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a\sqrt{3};0)$, $C(a;a\sqrt{3};0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$, $M(\frac{a}{2};0;0)$, $N(0;0;\frac{a\sqrt{3}}{2})$.
a) $\overrightarrow{SD}=(0;a\sqrt{3};-a\sqrt{3})$, $\overrightarrow{CD}=(-a;0;0)$, tích vô hướng $=0$ nên $SD\perp CD$: đúng.
b) $\overrightarrow{AC}=(a;a\sqrt{3};0)$, $\overrightarrow{BD}=(-a;a\sqrt{3};0)$, tích vô hướng $=-a^2+3a^2=2a^2\ne 0$ nên hai mặt phẳng không vuông góc: sai.
c) $\overrightarrow{BC}=(0;a\sqrt{3};0)$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$ và $\overrightarrow{AS}=(0;0;a\sqrt{3})$, hai vectơ này không song song và nằm trong $(SAB)$, nên $BC\perp (SAB)$: đúng.
d) $\overrightarrow{MN}=(-\frac{a}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{BD}=(-a;a\sqrt{3};0)$; $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{a^2}{2}$, $|MN|=a$, $|BD|=2a$, nên $\cos =\frac{a^2/2}{2a^2}=\frac{1}{4}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{SD}\cdot \overrightarrow{CD}=(0)(-a)+(a\sqrt{3})(0)+(-a\sqrt{3})(0)=0$ nên $SD\perp CD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=-a^2+3a^2=2a^2\ne 0$, nên $BD$ không vuông góc $AC$, do đó $(SAC)$ không vuông góc $(SBD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{AS}$ (vì $SA\perp$ đáy), nên $BC\perp (SAB)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (MN,BD)=\frac{\frac{a^2}{2}}{a\cdot 2a}=\frac{1}{4}$.