Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có một đáy là AD, M là trọng tâm tam giác SAD, N thuộc cạnh AC sao cho $NA=\frac{1}{2}NC$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn A làm gốc, đặt $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì đáy là hình thang có đáy AD nên $AD//BC$, do đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+k\vec{d}$ (với $k=BC/AD\ne 1$).
- M trọng tâm tam giác SAD: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{s}+\vec{d}}{3}$.
- $NA=\frac{1}{2}NC\Rightarrow AN=\frac{1}{3}AC$: $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{b}+k\vec{d}}{3}$.

a) Hình thang có một đáy là AD nên hai đáy AD và BC song song → Đúng.

b) $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=\frac{\vec{s}-2\vec{d}}{3}$. Nếu $(DMN)//(SCB)$ thì $\overrightarrow{DM}$ phải là tổ hợp của $\overrightarrow{BC}=k\vec{d}$ và $\overrightarrow{BS}=\vec{s}-\vec{b}$: $\alpha (\vec{s}-\vec{b})+\beta k\vec{d}=\frac{\vec{s}-2\vec{d}}{3}$ buộc $\alpha =\frac{1}{3}$, khi đó xuất hiện thành phần $-\frac{1}{3}\vec{b}$ không triệt tiêu — vô lý. Vậy hai mặt phẳng cắt nhau → Sai.

c) Vì $AD//BC$ và $BC\cap SB=B$ nên SB không song song AD. Với đường thẳng chéo AD, tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa SB và song song với AD → Đúng.

d) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{b}+(k-1)\vec{d}-\vec{s}}{3}=\frac{(k-1)\vec{d}-(\vec{s}-\vec{b})}{3}$, tức là tổ hợp tuyến tính của $\overrightarrow{BC}$ (cùng phương $(k-1)\vec{d}$) và $\overrightarrow{BS}$ — hai vectơ chỉ phương của $(SCB)$. Vì $MN\not\subset (SCB)$ nên $MN//(SCB)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình thang có một đáy là AD nên hai đáy AD và BC song song.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DM}=\frac{\vec{s}-2\vec{d}}{3}$ không thể viết dưới dạng $\alpha (\vec{s}-\vec{b})+\beta k\vec{d}$ (buộc $\alpha =1/3$ thì thành phần $\vec{b}$ không triệt tiêu), nên $(DMN)$ không song song $(SCB)$; hai mặt phẳng cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
SB cắt BC tại B nên SB không song song AD; do đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa SB và song song với AD.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\frac{(k-1)\vec{d}-(\vec{s}-\vec{b})}{3}$ là tổ hợp của $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BS}$, và $MN\not\subset (SCB)$, nên $MN//(SCB)$.