Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD=6, BC=CD=2, M là trung điểm của SC. Gọi I là giao điểm của AM với (SBD), và $\frac{AI}{AM}=\frac{c}{d}$ (với c,d là số tự nhiên và phân số $\frac{c}{d}$ là tối giản). khi đó 2c+d bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O = AC ∩ BD. Vì ABCD là hình thang (AD ∥ BC) nên AO/OC = AD/BC = 6/2 = 3, tức AO/AC = 3/4.

Mặt phẳng (SBD) cắt mặt phẳng (SAC) theo giao tuyến SO, nên I = AM ∩ SO.

Trong tam giác SAC, đặt vectơ: C = c, S = s (gốc tại A). Khi đó O = (3/4)c, M = (s + c)/2.
- Điểm trên AM: I = t·M = (t/2)s + (t/2)c, với t = AI/AM.
- Điểm trên SO: I = (3/4)c + u(s − (3/4)c) = u·s + (3/4)(1−u)c.

So sánh hệ số: t/2 = u và t/2 = (3/4)(1 − t/2)
⟹ t/2 + (3t/8) = 3/4 ⟹ (7/8)t = 3/4 ⟹ t = 6/7.

Kiểm tra bằng tọa độ: D=(0,0,0), C=(0,2,0), B=(2,2,0), A=(6,0,0), S=(0,0,3). Mặt phẳng (SBD) có phương trình x = y; M = (0,1,3/2); điểm trên AM: (6−6t, t, 3t/2); giải 6−6t = t được t = 6/7. ✓ (Kết quả không phụ thuộc vị trí S vì I nằm trên SO với O cố định.)

Theo lời giải trên, AI/AM = 6/7 nên 2c + d = 12 + 7 = 19.

(LƯU Ý XUNG ĐỘT VỚI ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC) Đáp án chính thức của đề (ma trận đáp án, mã đề 401, dòng 17) là 13. Giá trị 13 tương ứng với tỉ số AI/IM = 6/1 (vì AI/AM = 6/7 ⟹ AI/IM = 6), tức có thể đề gốc yêu cầu tỉ số AI/IM chứ không phải AI/AM như bản in. Không có lời giải chính thức trong nguồn để phân xử; đáp án chính thức 13 được giữ nguyên theo nguồn.