Cho hình chóp $S.BCD$ có $SB\perp (BCD)$, $SB=3$, tam giác $BCD$ đều có cạnh bằng 2. Gọi $H$ là trọng tâm của tam giác $BCD$, điểm $M$ là trung điểm của $CD$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:



a) $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{DC}=-2$.
b) $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=3\overrightarrow{SH}$.
c) $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right|=\sqrt{3}$.
d) $\left|\overrightarrow{SD}+2\overrightarrow{DM}\right|=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $BCD$ đều cạnh 2, $SB\perp (BCD)$, $SB=3$, $M$ trung điểm $CD$, $H$ trọng tâm.
a) $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CD}=-|CB||CD|\cos 60^{\circ }=-2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=-2$. Đúng.
b) Tính chất trọng tâm: $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=3\overrightarrow{SH}$. Đúng.
c) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BM}$ với $BM$ là đường cao tam giác đều: $BM=\sqrt{3}$, nên $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}|=2\sqrt{3}\ne \sqrt{3}$. Sai.
d) $2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DC}$ nên $\overrightarrow{SD}+2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{SC}$, $SC=\sqrt{S{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\ne 4$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CD}=-2\cdot 2\cdot \cos 60^{\circ }=-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $H$ là trọng tâm tam giác $BCD$ thì $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=3\overrightarrow{SH}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BM}$, $BM=\sqrt{3}$ nên độ dài bằng $2\sqrt{3}\ne \sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{SD}+2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{SC}$, $SC=\sqrt{13}\ne 4$.