Cho hình chóp $S.BCDE$ là hình thoi tâm $O$. Gọi $I$ là điểm tùy ý thuộc cạnh $SB$ không trùng với $S$ và $B$. Gọi $G,K$ là các điểm lần lượt thuộc $BC,CD$ sao cho $CG=3GB,CK=3KD$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thoi $BCDE$ tâm $O$, ta có $CG=3GB$ và $CK=3KD$ nên $\frac{CG}{CB}=\frac{CK}{CD}=\frac{3}{4}$, suy ra $GK\parallel BD$ (định lý Ta-lét trong tam giác $CBD$).

a) Đúng. $GK\parallel BD$ mà $BD$ cắt $BE$ tại $B$ (vì $BD$ là đường chéo, $BE$ là cạnh), nên $GK$ không song song với $BE$; $GK$ và $BE$ cùng nằm trong mặt phẳng đáy $(BCDE)$ nên chúng cắt nhau.

b) Đúng. Gọi $N=GK\cap BE$. Khi đó $N\in GK\subset (SGK)$ và $N\in BE\subset (SBE)$; ngoài ra $S$ chung. Vậy giao tuyến của $(SGK)$ và $(SBE)$ là đường thẳng $SN$ với $N=GK\cap BE$.

c) Sai. Trong hình thoi $BCDE$, $BE\parallel CD$ (hai cạnh đối). Ta có $BE\subset (SBE)$, $CD\subset (SCD)$, $BE\parallel CD$, nên giao tuyến của $(SBE)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $CD$ (cũng song song với $BE$), không phải đường thẳng qua $I$.

d) Sai. Xét mặt phẳng $(SBD)$ chứa $D,I$ (vì $I\in SB$). Ta có $O\in BD\subset (SBD)$ và $O\in CE\subset (SCE)$, hơn nữa $S$ chung, nên $(SBD)\cap (SCE)=SO$. Do $DI\subset (SBD)$ nên $DI\cap (SCE)=DI\cap SO$, là giao điểm của $DI$ với $SO$ trong mặt phẳng $(SBD)$ — điểm này không nằm trên $SE$ (vì $SO\cap SE=S$ và $DI$ không qua $S$). Vậy khẳng định $M=DI\cap SE$ là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $CG/CB=CK/CD=3/4$ nên $GK\parallel BD$; $BD$ cắt $BE$ tại $B$ nên $GK$ không song song $BE$, mà $GK,BE$ cùng thuộc $(BCDE)$ nên chúng cắt nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$N=GK\cap BE$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SGK)$ và $(SBE)$, cùng với $S$ chung, nên giao tuyến là $SN$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $BE\parallel CD$ (hai cạnh đối của hình thoi), giao tuyến của $(SBE)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $CD$, không phải qua $I$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(SBD)\cap (SCE)=SO$ (vì $O\in BD$ và $O\in CE$). Vì $DI\subset (SBD)$ nên $DI\cap (SCE)=DI\cap SO$, không nằm trên $SE$; do đó $M=DI\cap SE$ là sai.