Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AB=a$. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(SBC)$ biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0)$, tâm đáy $O\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$. Vì $AC=a\sqrt{2}$ nên $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60^{\circ }$ nên $SO=AO\tan 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{6}}{2}$, tức $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)$.

Vectơ $\overrightarrow{SB}=\left(\frac{a}{2};-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)$, $\overrightarrow{SC}=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)$, $\overrightarrow{SD}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)$.

Pháp tuyến của $(SBC)$: $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}\parallel (\sqrt{6};0;1)$.
Pháp tuyến của $(SCD)$: $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{SD}\times \overrightarrow{SC}\parallel (0;\sqrt{6};1)$.

$$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}=\frac{1}{7}.$$

Vậy đáp án A.