Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, $AB=2a$, $SO=a\sqrt{2}$.

a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

b) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đáy là hình vuông cạnh $2a$ nên $S_{ABCD}=(2a{)}^2=4a^2$, chiều cao $SO=a\sqrt{2}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot 4a^2\cdot a\sqrt{2}=\frac{4a^3\sqrt{2}}{3}$.

b) Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $C(2a;2a;0)$, $D(0;2a;0)$, $S(a;a;a\sqrt{2})$. Ta có $\overrightarrow{DC}=(-2a;0;0)$, $\overrightarrow{DS}=(a;-a;a\sqrt{2})$, nên $\vec{n}=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}=(0;2a^2\sqrt{2};2a^2)\parallel (0;\sqrt{2};1)$. Mặt phẳng $(SCD)$ qua $D(0;2a;0)$: $\sqrt{2}(y-2a)+z=0\iff \sqrt{2}y+z-2a\sqrt{2}=0$. Khoảng cách từ $A(0;0;0)$: $d(A,(SCD))=\frac{|-2a\sqrt{2}|}{\sqrt{2+1}}=\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$. Kiểm tra lại bằng tỉ số thể tích: $d=\frac{3V_{A.SCD}}{S_{SCD}}$ cho cùng kết quả.