Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các mặt bên và mặt đáy đều là hình vuông cạnh $a$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau?

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp là lập phương cạnh $a$. a) $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $C{C}^{\prime }\perp AB$ và $C{C}^{\prime }\perp BD$, mà $AB,BD$ cắt nhau trong $(ABD)$, suy ra $C{C}^{\prime }\perp (ABD)$: Đúng. b) $D{A}^{\prime }\parallel C{B}^{\prime }$ (vì $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{B}^{\prime }}$). Góc giữa $AC$ và $C{B}^{\prime }$: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot (-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }})=-a^2$, nên $\cos =\frac{-a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$, góc giữa hai đường thẳng bằng $60^{\circ }\ne 45^{\circ }$: Sai. c) $C{A}^{\prime }=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$: Đúng. d) $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông), suy ra $BD\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$: Đúng. Khớp đáp án mã 202: Đ S Đ Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $C{C}^{\prime }\perp AB$, $C{C}^{\prime }\perp BD$; do đó $C{C}^{\prime }\perp (ABD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$D{A}^{\prime }\parallel C{B}^{\prime }$; $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{C{B}^{\prime }}=-a^2$ nên góc bằng $60^{\circ }$, không phải $45^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C{A}^{\prime }=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và $BD\perp AC$ nên $BD\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$.