Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có thể tích $V$ và tất cả các cạnh đều bằng $a$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $h$ là chiều cao của hình hộp từ $A^{\prime }$ xuống $(ABCD)$; $V=a^{2}h$ (các cạnh đáy đều bằng $a$).
a) Tứ diện $ABC{B}^{\prime }$ có đáy $△ABC$ diện tích $\frac{1}{2}{a}^2$, chiều cao bằng $h$ (khoảng cách từ $B^{\prime }$ đến $(ABC)$). Thể tích $=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{a}^{2}h=\frac{1}{6}V$. Đúng.
b) Thể tích hình hộp $V=a^{2}h$, chỉ bằng $a^3$ khi là khối lập phương. Sai.
c) Khối chóp $A^{\prime }.ABCD$: đáy $ABCD$ diện tích $a^2$, chiều cao $h$, thể tích $=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{1}{3}V\ne \frac{2}{3}V$. Sai.
d) Tứ diện $AC{B}^{\prime }{D}^{\prime }$: chọn hệ vectơ $\overrightarrow{AB}=\vec{u},\overrightarrow{AD}=\vec{v},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{w}$ thì $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v},\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\vec{u}+\vec{w},\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\vec{v}+\vec{w}$. Tính định thức: $\det (\vec{u}+\vec{v},\vec{u}+\vec{w},\vec{v}+\vec{w})=\det (\vec{u},\vec{w},\vec{v})+\det (\vec{v},\vec{u},\vec{w})=-2\det (\vec{u},\vec{v},\vec{w})$. Thể tích $=\frac{2|\det (\vec{u},\vec{v},\vec{w})|}{6}=\frac{2V}{6}=\frac{1}{3}V$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thể tích tứ diện $ABC{B}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{a}^2\cdot h=\frac{1}{6}V$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V=a^{2}h$ với $h$ là chiều cao; chỉ bằng $a^3$ khi hình hộp là lập phương.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp $A^{\prime }.ABCD=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{1}{3}V$, không phải $\frac{2}{3}V$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Dùng tích hỗn tạp: thể tích tứ diện $AC{B}^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{2V}{6}=\frac{1}{3}V$.