Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $A{B}^{\prime }$ và $C{D}^{\prime }$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{a}$. Khi đó $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{d}+\overrightarrow{a}$.

Vì $I$ là trung điểm $A{B}^{\prime }$: $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }})=\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$.

Vì $J$ là trung điểm $C{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{D}^{\prime }})=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$.

Kiểm tra A: $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$. Vậy $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{JC}$, A đúng.

B sai: $\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{AI}$.

C sai: $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{d}$ còn $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{d}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$.

D sai: $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$ còn $\overrightarrow{D^{\prime }J}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$.

Đáp án A khớp bảng đáp án chính thức (Mã đề 102, Câu 9: A).