Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $A^{\prime }BD$, $C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$, lấy $A$ làm gốc. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, $\overrightarrow{A^{\prime }}=\vec{a}$, $\overrightarrow{B^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}$, $\overrightarrow{D^{\prime }}=\vec{a}+\vec{d}$.

a) $AC$ cắt $BD$ tại tâm $O$ của đáy $ABCD$; mặt khác $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ (hai đường chéo của hai đáy song song). Vậy $AC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ chéo nhau, không song song. Mệnh đề SAI.

b) $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\vec{d}-\vec{b}$, $\overrightarrow{B^{\prime }M}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}-(\vec{a}+\vec{b})=\frac{-2\vec{a}-2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Nếu $\overrightarrow{AC}=\alpha \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{B^{\prime }M}$ thì so sánh hệ số của $\vec{a}$ (với $\vec{a},\vec{b},\vec{d}$ độc lập) cho $\beta =0$; khi đó $\vec{b}+\vec{d}=\alpha (\vec{d}-\vec{b})$ đòi hỏi $\alpha =1$ và $\alpha =-1$ cùng lúc, vô nghiệm. Vậy $AC$ không song song với $(M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ (nó cắt mặt phẳng này). Mệnh đề SAI.

c) $\overrightarrow{BD}=\vec{d}-\vec{b}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$. Hơn nữa $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\vec{a}-\vec{b}=(\vec{d}-\vec{b})-(\vec{d}-\vec{a})=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}-\overrightarrow{B^{\prime }C}$, tức $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}$ là tổ hợp của $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }C}$, nên $B{A}^{\prime }\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ với $B{A}^{\prime }$ không nằm trong $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ có hai cặp đường thẳng tương ứng song song nên song song với nhau. Mệnh đề ĐÚNG.

d) $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$; $N$ là trọng tâm tam giác $C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AN}=\frac{(\vec{b}+\vec{d})+(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}+\vec{d})}{3}=\frac{2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{d})}{3}=2\overrightarrow{AM}$, suy ra $A,M,N$ thẳng hàng. Nhưng $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$ không cùng phương với $\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}$ (do thành phần $\vec{a}$ độc lập), nên $C$ không thuộc đường thẳng $AMN$. Bốn điểm không thẳng hàng. Mệnh đề SAI.
a) Trong hình bình hành $ABCD$, $AC$ cắt $BD$ tại tâm $O$. Vì $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ (hai đáy song song) nên $AC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ chéo nhau, không song song. Mệnh đề sai.
b) Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\vec{d}-\vec{b}$, $\overrightarrow{B^{\prime }M}=\frac{-2\vec{a}-2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Nếu $AC\parallel (M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ thì $\overrightarrow{AC}=\alpha \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{B^{\prime }M}$; so sánh hệ số của $\vec{a}$ cho $\beta =0$, khi đó $\vec{b}+\vec{d}=\alpha (\vec{d}-\vec{b})$ vô nghiệm vì $\vec{b},\vec{d}$ độc lập. Vậy $AC$ không song song và cắt mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Mệnh đề sai.
c) Ta có $\overrightarrow{BD}=\vec{d}-\vec{b}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$. Hơn nữa $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\vec{a}-\vec{b}=(\vec{d}-\vec{b})-(\vec{d}-\vec{a})=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}-\overrightarrow{B^{\prime }C}$, nên $B{A}^{\prime }\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ với $B{A}^{\prime }$ không nằm trong $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ có hai cặp đường thẳng tương giao song song nên song song với nhau. Mệnh đề đúng.
d) Với $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$, còn $N=\frac{C+B^{\prime }+D^{\prime }}{3}$ nên $\overrightarrow{AN}=\frac{2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{d})}{3}=2\overrightarrow{AM}$, suy ra $A,M,N$ thẳng hàng. Nhưng $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$ không cùng phương với $\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}$ (do thành phần $\vec{a}$), nên $C$ không thuộc đường thẳng $AMN$. Bốn điểm không thẳng hàng, mệnh đề sai.