Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Biết hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là trọng tâm $G^{\prime }$ của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=a$. Tính theo $a$

a) thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

b) khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $h$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, tức $h=A{G}^{\prime }$. Trong tam giác đều $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cạnh $a$: $A^{\prime }{G}^{\prime }=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vì $A{G}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $A{G}^{\prime }\perp A^{\prime }{G}^{\prime }$, do đó $h=\sqrt{A{A}^{\prime 2}-A^{\prime }{G}^{\prime 2}}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

a) Diện tích đáy $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, thể tích $V=S\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$.

b) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $A{A}^{\prime }$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là đường thẳng $A^{\prime }{G}^{\prime }$ (vì $A$ chiếu xuống $G^{\prime }$ và $A^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$). Ta có $A{A}^{\prime }\parallel (A^{\prime }{G}^{\prime })$... không, chính xác hơn: đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ chéo nhau. Xét mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và song song với $A{A}^{\prime }$. Vì $A^{\prime }{G}^{\prime }$ là hình chiếu của $A{A}^{\prime }$ trên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, ta có $A{A}^{\prime }\parallel (A^{\prime }{G}^{\prime })$, nên $(\alpha )$ chính là mặt phẳng $(B^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }{G}^{\prime })$? Không — $A^{\prime }{G}^{\prime }$ cắt $B^{\prime }{C}^{\prime }$, nên cần tính trực tiếp.

Cách tính đúng: khoảng cách giữa hai đường chéo nhau $A{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $B^{\prime }$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $A{A}^{\prime }$ và song song với $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Hoặc dùng công thức thể tích: $d(A{A}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime })=\frac{3V_{A{B}^{\prime }C{C}^{\prime }{A}^{\prime }}}{S_{AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }}}$... Ta dùng tọa độ để kiểm chứng và trình bày lời giải hình học như sau.

Vì $A{G}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $A{G}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$; cũng có $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$ (tam giác đều). Suy ra $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ (mặt phẳng chứa $A{G}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$). Do đó $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A{A}^{\prime }$. Khi đó khoảng cách giữa $A{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $B^{\prime }$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A{A}^{\prime }$ và song song $B^{\prime }{C}^{\prime }$; vì $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $A{A}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, mặt phẳng $(\alpha )=(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa $A{A}^{\prime }$ và song song với $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (vì $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$, hai đường chéo của hai đáy song song). Vậy $d(A{A}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime })=d(B^{\prime },(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))$.

Thể tích khối chóp $B^{\prime }.AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$: $V=\frac{1}{3}\cdot d(B^{\prime },(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))\cdot S_{AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }}$, cũng bằng $\frac{1}{3}\cdot d(B^{\prime },(AC{C}^{\prime }))\cdot S_{AC{C}^{\prime }}$ với $d(B^{\prime },(AC{C}^{\prime }))=h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ (khoảng cách từ $B^{\prime }$ đến $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$... chính xác là khoảng cách từ $B^{\prime }$ đến mặt phẳng qua $A,C$ vuông góc đáy, bằng khoảng cách từ $B^{\prime }$ đến $AC$ trong đáy, tức $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, nhân với chiều cao $h$ theo phương vuông góc đáy).

Cụ thể: $S_{AC{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot h=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^2\sqrt{6}}{6}$ (với $AC=a$ cạnh tam giác đều). Thể tích chóp $B^{\prime }.AC{C}^{\prime }$: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{AC{C}^{\prime }}\cdot d(B^{\prime },(AC{C}^{\prime }))$, với $d(B^{\prime },(AC{C}^{\prime }))$ = khoảng cách từ $B^{\prime }$ đến đường $AC$ trong mặt đáy (chiếu xuống) nhân $\sin$ góc — vì $(AC{C}^{\prime })$ vuông góc đáy (chứa $A{G}^{\prime }\perp$ đáy, $A{G}^{\prime }$ không nằm trong $(AC{C}^{\prime })$... ).

Trình bày gọn bằng tọa độ: chọn $A^{\prime }=(0,0,0)$, $B^{\prime }=(a,0,0)$, $C^{\prime }=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$, $G^{\prime }=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$, $A=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{6},\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)$. Vectơ chỉ đạo: ${\vec{u}}_{A{A}^{\prime }}=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{6},\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)$, ${\vec{u}}_{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\left(-\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$. Ta có ${\vec{u}}_{A{A}^{\prime }}\times {\vec{u}}_{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\left(-\frac{a^2\sqrt{2}}{2},-\frac{a^2\sqrt{6}}{6},\frac{a^2\sqrt{3}}{3}\right)$ với độ dài $a^2$, và $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{6},\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)$... dùng $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=(-a,0,0)$: $d=\frac{\left|\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}\cdot \left({\vec{u}}_{A{A}^{\prime }}\times {\vec{u}}_{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right)\right|}{\left|{\vec{u}}_{A{A}^{\prime }}\times {\vec{u}}_{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right|}=\frac{\frac{a^3\sqrt{2}}{2}}{a^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $d(A{A}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime })=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.