Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $A^{\prime }BC$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $C{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $B=(0;0;0)$, $C=(a;0;0)$, $A=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$. Vì $(A^{\prime }BC)\perp (ABC)$ nên $A^{\prime }$ thuộc mặt phẳng qua $BC$ vuông góc với $(ABC)$, tức $A^{\prime }=\left(\frac{a}{2};0;h\right)$; tam giác $A^{\prime }BC$ đều cạnh $a$ cho $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\left(0;-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $B^{\prime }=\left(0;-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $C^{\prime }=\left(a;-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.

a) $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\left(a;\frac{a\sqrt{3}}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, còn $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\left(a;-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. Hai véc-tơ không bằng nhau → sai.

b) $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(a;0;0)\cdot \left(0;-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)=0$ → đúng.

c) $M$ trung điểm $C{C}^{\prime }$: $M=\left(a;-\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$, $\overrightarrow{BM}=\left(a;-\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$, $|\overrightarrow{BM}|=\frac{a\sqrt{22}}{4}$. Tích vô hướng $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BM}=\frac{3a^2}{8}+\frac{3a^2}{8}=\frac{3a^2}{4}$. Vậy $\cos =\frac{3a^2/4}{a\cdot a\sqrt{22}/4}=\frac{3}{\sqrt{22}}=\frac{3\sqrt{22}}{22}\ne \frac{\sqrt{22}}{11}$ → sai.

d) $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\left(-\frac{a}{2};0;-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\left(a;\frac{a\sqrt{3}}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, tích vô hướng $=-\frac{a^2}{2}+0+\frac{3a^2}{4}=\frac{a^2}{4}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\left(a;\frac{a\sqrt{3}}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$ còn $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\left(a;-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(a;0;0)\cdot \left(0;-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)=0$ vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ qua $BC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $\cos \left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{BM}\right)=\frac{3a^2/4}{a\cdot a\sqrt{22}/4}=\frac{3\sqrt{22}}{22}\ne \frac{\sqrt{22}}{11}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }B}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }C}=-\frac{a^2}{2}+\frac{3a^2}{4}=\frac{a^2}{4}$.