Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC$, $A{A}^{\prime }$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$, $BC$. Chứng minh rằng $(MNQ)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $A{A}^{\prime }C$: $M$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel A^{\prime }C$. Mà $A^{\prime }C\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$ và $MN\not\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$, do đó $MN\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$.

Trong tam giác $ABC$: $M$ là trung điểm $AC$, $Q$ là trung điểm $BC$ nên $MQ$ là đường trung bình, suy ra $MQ\parallel AB$. Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ nên $AB\parallel A^{\prime }B$, do đó $MQ\parallel A^{\prime }B$. Mà $A^{\prime }B\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$ và $MQ\not\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$, do đó $MQ\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$.

Hai đường thẳng $MN$ và $MQ$ cắt nhau tại $M$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(MNQ)$, đồng thời $M\notin (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$. Theo định lý về điều kiện song song của hai mặt phẳng (hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng lần lượt song song với mặt phẳng kia), ta có:
$$(MNQ)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }C).$$

Điều phải chứng minh.