Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $G$, $H$, $K$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$, $BCD$, $A^{\prime }A{D}^{\prime }$. Chứng minh rằng $(GHK)\parallel (A^{\prime }BC{D}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $A$ làm gốc, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$, $\vec{w}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec{u}+\vec{v}$, $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\vec{v}+\vec{w}$.

Ta có:
- $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{2\vec{u}+\vec{v}}{3}$.
- $H$ là trọng tâm tam giác $BCD$: $\overrightarrow{AH}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}=\frac{2\vec{u}+2\vec{v}}{3}$.
- $K$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }A{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{AK}=\frac{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{D}^{\prime }}}{3}=\frac{\vec{v}+2\vec{w}}{3}$.

Mặt phẳng $(A^{\prime }BC{D}^{\prime })$: $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\vec{u}-\vec{w}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(\vec{u}+\vec{v})-(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}-\vec{w}$, nên $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$ là hình bình hành, có hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\vec{u}-\vec{w}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\vec{v}$.

Xét:
- $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{v}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$, vậy $GH\parallel AD$. Mà $AD\parallel A^{\prime }{D}^{\prime }\subset (A^{\prime }BC{D}^{\prime })$, nên $GH\parallel (A^{\prime }BC{D}^{\prime })$.
- $\overrightarrow{GK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{v}+2\vec{w}}{3}-\frac{2\vec{u}+\vec{v}}{3}=\frac{2(\vec{w}-\vec{u})}{3}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{A^{\prime }B}$, vậy $GK\parallel A^{\prime }B\subset (A^{\prime }BC{D}^{\prime })$, suy ra $GK\parallel (A^{\prime }BC{D}^{\prime })$.

Kiểm tra $G\notin (A^{\prime }BC{D}^{\prime })$: điểm $X$ trong mặt phẳng có dạng $\overrightarrow{AX}=\vec{w}+s(\vec{u}-\vec{w})+t\vec{v}$. Nếu $G\in (A^{\prime }BC{D}^{\prime })$ thì so sánh hệ số theo $\vec{w}$ (độc lập với $\vec{u},\vec{v}$) cho $1+s=0$, tức $s=-1$; khi đó $\overrightarrow{AG}$ phải chứa thành phần $-\vec{w}$, mâu thuẫn vì $\overrightarrow{AG}=\frac{2\vec{u}+\vec{v}}{3}$ không chứa thành phần theo $\vec{w}$. Vậy $G\notin (A^{\prime }BC{D}^{\prime })$.

Hai đường thẳng cắt nhau $GH$ và $GK$ cùng song song với $(A^{\prime }BC{D}^{\prime })$ và $G\notin (A^{\prime }BC{D}^{\prime })$, nên $(GHK)\parallel (A^{\prime }BC{D}^{\prime })$. Đpcm.