Cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo $AC$ và $BF$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $AM=BN$. Các đường thẳng song song với $AB$ vẽ từ $M$, $N$ lần lượt cắt $AD$ và $AF$ tại $M^{\prime }$ và $N^{\prime }$. Chứng minh:
a) $(ADF)\parallel (BCE)$.
b) $(DEF)\parallel (M{M}^{\prime }{N}^{\prime }N)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài giải Câu 105 (AI soạn theo yêu cầu):

a) Hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ có chung cạnh $AB$, nên $AB\parallel CD$ và $AB\parallel FE$, suy ra $CD\parallel FE$; lại có $CD=AB=FE$, vậy tứ giác $CDEF$ (với $CD\parallel FE$, $CD=FE$) là hình bình hành, do đó $DF\parallel CE$.

Ta có:
- $CD\parallel FE\Rightarrow CD\parallel (BCE)$ (vì $CD\not\subset (BCE)$).
- $DF\parallel CE\Rightarrow DF\parallel (BCE)$ (vì $DF\not\subset (BCE)$).

Trong mặt phẳng $(ADF)$, hai đường thẳng $CD$ và $DF$ cắt nhau tại $D$ và cùng song song với $(BCE)$, nên $(ADF)\parallel (BCE)$. (đpcm)

b) Vì $M{M}^{\prime }\parallel AB$, $N{N}^{\prime }\parallel AB$ nên $M{M}^{\prime }\parallel N{N}^{\prime }$.

Xét tam giác $ACD$: $M{M}^{\prime }\parallel CD$ (vì cùng song song với $AB$) nên $\frac{A{M}^{\prime }}{AD}=\frac{AM}{AC}$.

Xét tam giác $ABF$: $N{N}^{\prime }\parallel AB$ nên $\frac{A{N}^{\prime }}{AF}=\frac{BN}{BF}$.

Vì $ABCD$ và $ABEF$ là hai hình vuông có chung cạnh $AB$ nên $AC=BF$; kết hợp $AM=BN$ ta được
$$\frac{A{M}^{\prime }}{AD}=\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BF}=\frac{A{N}^{\prime }}{AF}.$$

Xét tam giác $ADF$: vì $\frac{A{M}^{\prime }}{AD}=\frac{A{N}^{\prime }}{AF}$, theo định lí Thales ta có $M^{\prime }{N}^{\prime }\parallel DF$.

Trong mặt phẳng $(M{M}^{\prime }{N}^{\prime }N)$, hai đường thẳng $M{M}^{\prime }$ và $M^{\prime }{N}^{\prime }$ cắt nhau tại $M^{\prime }$, và:
- $M{M}^{\prime }\parallel AB\parallel FE\Rightarrow M{M}^{\prime }\parallel (DEF)$ (vì $M{M}^{\prime }\not\subset (DEF)$).
- $M^{\prime }{N}^{\prime }\parallel DF\Rightarrow M^{\prime }{N}^{\prime }\parallel (DEF)$ (vì $M^{\prime }{N}^{\prime }\not\subset (DEF)$).

Vậy $(M{M}^{\prime }{N}^{\prime }N)\parallel (DEF)$. (đpcm)