Cho hình chóp $S.ABC$ có $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$, $SC$.
a) Chứng minh $(MNP)\parallel (ABC)$.
b) Gọi $H,G,L$ lần lượt là trọng tâm tam giác $SAB$, $SAC$, $SBC$. Chứng minh $(HGL)\parallel (MNP)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 104. a) Trong tam giác $SAB$: $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SB$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AB$. Vì $AB\subset (ABC)$ và $MN\not\subset (ABC)$ nên $MN\parallel (ABC)$. Tương tự, trong tam giác $SBC$: $NP$ là đường trung bình nên $NP\parallel BC\parallel (ABC)$; trong tam giác $SAC$: $MP\parallel AC\parallel (ABC)$. Mặt khác $MN\cap NP=N$, hai đường này nằm trong $(MNP)$ và không trùng nhau. Theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng song song, ta có $(MNP)\parallel (ABC)$.

b) Gọi $I$ là trung điểm $SA$. Trong tam giác $SAB$: $H$ là trọng tâm nên $SH=\frac{2}{3}SM$ (với $M$ trung điểm $AB$ của tam giác $SAB$ — chú ý: ở đây dùng trung điểm của cạnh tương ứng). Cách trình bày rõ hơn: Trong tam giác $SAB$, gọi $M_1$ là trung điểm $AB$ thì $H$ nằm trên $S{M}_1$ với $SH=\frac{2}{3}S{M}_1$. Trong tam giác $SAC$, gọi $M_2$ là trung điểm $AC$ thì $G$ nằm trên $S{M}_2$ với $SG=\frac{2}{3}S{M}_2$. Vì $M_1{M}_2\parallel BC$ (đường trung bình tam giác $ABC$) nên tam giác $S{M}_1{M}_2$ đồng dạng với tam giác có các điểm $H,G$ tương ứng trên $S{M}_1,S{M}_2$ với tỉ số $\frac{2}{3}$, suy ra $HG\parallel M_1{M}_2\parallel BC$. Mà $NP\parallel BC$ (câu a) nên $HG\parallel NP$. Tương tự: trong tam giác $SBC$, $L$ là trọng tâm; xét tam giác $SAC$ và $SBC$: $GL\parallel M_2{M}_3\parallel AB$ (với $M_3$ trung điểm $BC$), mà $MN\parallel AB$ nên $GL\parallel MN$. Vậy trong $(HGL)$ và $(MNP)$ ta có: $HG\parallel NP$ và $GL\parallel MN$, với $HG,GL$ cắt nhau tại $G$ thuộc $(HGL)$, $NP,MN$ cắt nhau tại $N$ thuộc $(MNP)$. Theo định lý điều kiện để hai mặt phẳng song song, suy ra $(HGL)\parallel (MNP)$.