Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SD$.
a) Chứng minh $(SBC)//(OMN)$.
b) Gọi $P,Q,R$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $ON$, $SB$. Chứng minh $PQ\parallel (SBC)$ và $(OMR)\parallel (SCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 103. Cho hình chóp $S.ABCD$, $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$; $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SD$.

a) Chứng minh $(SBC)\parallel (OMN)$:
- Trong tam giác $SAD$: $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, do đó $MN\parallel BC$. Mà $MN\not\subset (SBC)$, $BC\subset (SBC)$ nên $MN\parallel (SBC)$.
- Xét tam giác $SAC$: $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành), $M$ là trung điểm $SA$ nên $OM$ là đường trung bình, suy ra $OM\parallel SC$. Mà $OM\not\subset (SBC)$, $SC\subset (SBC)$ nên $OM\parallel (SBC)$.
- Trong mặt phẳng $(OMN)$, hai đường thẳng $MN$ và $OM$ cắt nhau tại $M$ và cùng song song với mặt phẳng $(SBC)$, lại có $S\in (SBC)$ còn $S\notin (OMN)$ nên hai mặt phẳng phân biệt. Vậy $(SBC)\parallel (OMN)$.

b) Chứng minh $PQ\parallel (SBC)$ với $P$, $Q$, $R$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $ON$, $SB$:
- Gọi $K$ là trung điểm của $CR$. Trong tam giác $BCR$, $K$ là trung điểm $CR$ nên $BK$ là đường trung bình, suy ra $\overrightarrow{BK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BR})$.
- Ta có $\overrightarrow{BR}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BS}$ (vì $R$ là trung điểm $SB$), do đó $\overrightarrow{BK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BS}$.
- Mặt khác, với $P=\frac{A+B}{2}$, $Q=\frac{O+N}{2}$, $O=\frac{A+C}{2}$, $N=\frac{S+D}{2}$, $D=A+C-B$ (tính chất hình bình hành), ta được
$$\overrightarrow{PQ}=\vec{Q}-\vec{P}=\frac{1}{2}\left(\frac{A+C}{2}-A\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{S+D}{2}-B\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{BD}\right).$$
- Vì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ nên
$$\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\frac{1}{4}\overrightarrow{BS}+\frac{1}{4}(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BS}=\overrightarrow{BK}.$$
- Vậy $PQ\parallel BK$. Mà $BK\subset (SBC)$, $PQ\not\subset (SBC)$ (vì $P\in (ABCD)$, $P\notin (SBC)$), suy ra $PQ\parallel (SBC)$.

Chứng minh $(OMR)\parallel (SCD)$:
- Theo câu a): $OM\parallel SC$, với $OM\not\subset (SCD)$, $SC\subset (SCD)$ nên $OM\parallel (SCD)$.
- Trong tam giác $SAB$: $M$ là trung điểm $SA$, $R$ là trung điểm $SB$ nên $MR$ là đường trung bình, suy ra $MR\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, do đó $MR\parallel CD$. Mà $MR\not\subset (SCD)$, $CD\subset (SCD)$ nên $MR\parallel (SCD)$.
- Trong mặt phẳng $(OMR)$, hai đường thẳng $OM$ và $MR$ cắt nhau tại $M$ và cùng song song với $(SCD)$; hai mặt phẳng phân biệt vì $O\notin (SCD)$. Vậy $(OMR)\parallel (SCD)$.