Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. $Sx$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBD)$. $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $DC$. Chứng minh $MN$ song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$, ta chứng minh $MN\parallel d$.

Bước 1: Chứng minh $AD\parallel d$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Xét $BC\subset (SBC)$ và $AD\not\subset (SBC)$, suy ra $AD\parallel (SBC)$. Mà $AD\subset (SAD)$ và $(SAD)$ cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $d$, nên theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $AD\parallel d$.

Bước 2: Chứng minh $MN\parallel AD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$ và $AB=DC$. Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $DC$ nên $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC=DN$, với $AM\parallel DN$ (do $AM$ cùng hướng với $AB$ và $DN$ cùng hướng với $DC$). Vậy tứ giác $AMND$ có hai cạnh $AM$ và $DN$ song song và bằng nhau, do đó $AMND$ là hình bình hành, suy ra $MN\parallel AD$.

Bước 3: Kết luận. Từ $MN\parallel AD$ và $AD\parallel d$ suy ra $MN\parallel d$, tức $MN$ song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$. Chứng minh hoàn tất.

Nhận xét: Dữ kiện $Sx$ là giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBD)$ chỉ là dữ kiện đề cho, không cần dùng trong chứng minh trên.