Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G_1$ và $G_2$ theo thứ tự là trọng tâm tam giác $ABD$ và tam giác $ACD$. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(A{G}_1{G}_2)$ với mặt phẳng $(ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $BD$ và $CD$. Vì $G_1$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $G_1$ nằm trên trung tuyến $AI$; tương tự $G_2$ nằm trên trung tuyến $AJ$ của tam giác $ACD$.

Trong tam giác $BCD$: $I$ là trung điểm $BD$, $J$ là trung điểm $CD$ nên $IJ$ là đường trung bình, do đó $IJ\parallel BC$.

Ta có $\frac{I{G}_1}{IA}=\frac{J{G}_2}{JA}=\frac{1}{3}$ (vì trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số $1:2$), suy ra trong tam giác $AIJ$: $G_1{G}_2\parallel IJ$. Vậy $G_1{G}_2\parallel BC$.

Xét hai mặt phẳng $(A{G}_1{G}_2)$ và $(ABC)$:
- Cả hai đều đi qua điểm $A$, nên chúng có giao tuyến đi qua $A$.
- $G_1{G}_2\subset (A{G}_1{G}_2)$ và $G_1{G}_2\parallel BC\subset (ABC)$, tức $G_1{G}_2$ song song với mặt phẳng $(ABC)$.

Do đó mặt phẳng $(A{G}_1{G}_2)$ cắt $(ABC)$ theo giao tuyến là đường thẳng qua $A$ và song song với $G_1{G}_2$, tức song song với $BC$.

Kết luận: Giao tuyến của $(A{G}_1{G}_2)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $d$ đi qua $A$ với $d\parallel BC$.