Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ). Tính $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (vì $DC\parallel AB$ cùng chiều và $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ cùng chiều). Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }})=|\overrightarrow{AB}{|}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=a^2+0=a^2$, vì $AB\perp A{A}^{\prime }$. Vậy đáp án là $a^2$.