Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{D}^{\prime }$ và $C^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }B}$. Số đo của góc $\phi$ bằng bao nhiêu độ?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $D^{\prime }(0;1;1)$, $C^{\prime }(1;1;1)$. Khi đó $M$ trung điểm $A^{\prime }{D}^{\prime }$ là $(0;0,5;1)$, $N$ trung điểm $C^{\prime }{D}^{\prime }$ là $(0,5;1;1)$, nên $\overrightarrow{MN}=(0,5;0,5;0)$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$. Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1;0;-1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }B}=1+0+0=1$; độ dài $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{A^{\prime }B}|=\sqrt{2}$. Vậy $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \phi =60^{\circ }$. Đáp án D.