Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ có tâm $O$. Gọi $I$ là trọng tâm của tam giác $BFD$.
Khi đó $\overrightarrow{IO}=\frac{a}{b}\overrightarrow{BH}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $a\in Z$, $b\in N^{\ast }$. Tính $M=a^2+b^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$, $H(0;1;1)$. Tâm $O(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})$. Trọng tâm tam giác $BFD$: $I=\frac{B+F+D}{3}=\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$. Suy ra $\overrightarrow{IO}=O-I=\left(-\frac{1}{6};\frac{1}{6};\frac{1}{6}\right)$ và $\overrightarrow{BH}=H-B=(-1;1;1)$. Vậy $\overrightarrow{IO}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BH}$, tức $a=1,b=6$, nên $M=a^2+b^2=1+36=37$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (37).