Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=x^2-4x+4(C_1)$, $y=4x-12(C_2)$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Xét $(C_1):y=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ và $(C_2):y=4x-12$.

a) Tại $x=4$: $(C_1)$ cho $y=(4-2{)}^2=4$; $(C_2)$ cho $y=4\cdot 4-12=4$. Vậy cả hai đường đều đi qua $M(4;4)$ → Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm: $(x-2{)}^2=4x-12\iff x^2-8x+16=0\iff (x-4{)}^2=0\iff x=4$ (nghiệm kép). Hai đường tiếp xúc tại $x=4$, với $x<4$ ta có $(x-2{)}^2>(4x-12)$ vì $x^2-8x+16=(x-4{)}^2>0$, tức $(C_1)$ luôn nằm trên $(C_2)$ và chúng không bao giờ cắt nhau khác tại điểm tiếp xúc. Hình $(H)$ thực chất được giới hạn bởi $(C_1)$, $(C_2)$ và trục $Ox$ (đường $(C_2)$ cắt $Ox$ tại $x=3$, đỉnh parabol $(C_1)$ là điểm $(2;0)$).

b) Diện tích thực tế của $(H)$ là $S=\underset{2}{\overset{3}{\int }}(x-2{)}^{2}dx+\underset{3}{\overset{4}{\int }}\left[(x-2{)}^2-(4x-12)\right]dx=\frac{1}{3}+\underset{3}{\overset{4}{\int }}(x-4{)}^{2}dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$. Công thức $S=\underset{3}{\overset{4}{\int }}|x^2-8x+16|dx=\frac{1}{3}$ chỉ tính phần từ $x=3$ đến $x=4$, thiếu phần từ $x=2$ đến $x=3$ → Sai.

c) Khi quay $(H)$ quanh $Ox$: khối tròn xoay sinh bởi $(C_1)$ trên $[2;4]$ có thể tích $\pi \underset{2}{\overset{4}{\int }}(x^2-4x+4{)}^{2}dx$, trừ đi khối tròn xoay sinh bởi $(C_2)$ trên $[3;4]$: $\pi \underset{3}{\overset{4}{\int }}(4x-12{)}^{2}dx$. Công thức đúng → Đúng.

c) Tính cụ thể: $\pi \underset{2}{\overset{4}{\int }}(x-2{)}^{4}dx=\pi \cdot \frac{(x-2{)}^5}{5}{|}_2^4=\frac{32\pi }{5}$; $\pi \underset{3}{\overset{4}{\int }}(4x-12{)}^{2}dx=16\pi \underset{3}{\overset{4}{\int }}(x-3{)}^{2}dx=\frac{16\pi }{3}$. Vậy $V=\frac{32\pi }{5}-\frac{16\pi }{3}=\frac{96\pi -80\pi }{15}=\frac{16\pi }{15}$.

d) $V=\frac{16}{15}\pi$ với $\frac{16}{15}$ tối giản, nên $a+b=16+15=31\ne 32$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=4$: $(C_1)$ cho $y=(4-2{)}^2=4$ và $(C_2)$ cho $y=4\cdot 4-12=4$, nên cả hai đường đều đi qua $M(4;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường chỉ tiếp xúc tại $x=4$ (nghiệm kép của $(x-4{)}^2=0$). Hình $(H)$ được giới hạn bởi $(C_1)$, $(C_2)$ và trục $Ox$, nên $S=\underset{2}{\overset{3}{\int }}(x-2{)}^{2}dx+\underset{3}{\overset{4}{\int }}(x-4{)}^{2}dx=\frac{2}{3}$, không bằng $\underset{3}{\overset{4}{\int }}|x^2-8x+16|dx=\frac{1}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quay $(H)$ quanh $Ox$: thể tích bằng hiệu khối tròn xoay sinh bởi $(C_1)$ trên $[2;4]$ và khối tròn xoay sinh bởi $(C_2)$ trên $[3;4]$, đúng như công thức đề bài.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi \underset{2}{\overset{4}{\int }}(x-2{)}^{4}dx-\pi \underset{3}{\overset{4}{\int }}(4x-12{)}^{2}dx=\frac{32\pi }{5}-\frac{16\pi }{3}=\frac{16\pi }{15}$, nên $a+b=16+15=31\ne 32$.