Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường cong $y=f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2$ và trục hoành. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2=x^2(\frac{x}{3}-1)$, nghiệm $x=0,3$; $f(x)\le 0$ trên $[0;3]$ nên $(H)$ nằm dưới trục hoành với $0\le x\le 3$.

a) Nguyên hàm $F(x)=\frac{x^4}{12}-\frac{x^3}{3}$. ${\int }_1^{3}fdx=F(3)-F(1)=\left(\frac{27}{4}-9\right)-\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{3}\right)=-\frac{9}{4}+\frac{1}{4}=-2$. Đúng.

b) $\int f(x)dx=\frac{x^4}{12}-\frac{x^3}{3}+C$. Đúng.

c) $S=-{\int }_0^{3}fdx=-\left(\frac{81}{12}-9\right)=\frac{9}{4}\ne \frac{9}{2}$. Sai.

d) $V=\pi {\int }_0^3{f}^{2}dx=\pi {\int }_0^3\left(\frac{x^6}{9}-\frac{2x^5}{3}+x^4\right)dx=\pi \left(\frac{243}{7}-81+\frac{243}{5}\right)=\pi \cdot \frac{81}{35}\approx 7,3\ne 2,3$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^3\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)dx={\left[\frac{x^4}{12}-\frac{x^3}{3}\right]}_1^3=-\frac{9}{4}+\frac{1}{4}=-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $\frac{1}{3}{x}^3-x^2$ là $\frac{x^4}{12}-\frac{x^3}{3}+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=-{\int }_0^{3}fdx=\frac{9}{4}$, không phải $\frac{9}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^3{f}^{2}dx=\frac{81\pi }{35}\approx 7,3$ đơn vị thể tích, không phải 2,3.