Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một tàu ngầm đang di chuyển dưới biển sâu với hướng di chuyển theo đường thẳng $\Delta :\frac{x-50}{3}=\frac{y+20}{-4}=\frac{z-10}{1}$. Hải quân phát hiện một khu vực nguy hiểm được rải mìn, khu vực này có dạng hình cầu $(S)$ với tâm $C(200;-300;60)$ và bán kính $R=80$ (đơn vị đo là mét). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình chính tác của Δ, vecto chỉ phương là $\vec{u}=(3;-4;1)$. b) Điểm $A(50;-20;10)\in \Delta$: $4\cdot 50+3\cdot (-20)=140$; và $\vec{u}\cdot (4;3;0)=12-12=0$, nên Δ nằm trong $(P)$ → đúng. c) Khoảng cách từ $C(200;-300;60)$ đến Δ: $\overrightarrow{AC}=(150;-280;50)$, $\overrightarrow{AC}\times \vec{u}=(-80;0;240)$, $d(C,\Delta )=\frac{\sqrt{6400+57600}}{\sqrt{26}}=\frac{80\sqrt{10}}{\sqrt{26}}\approx 49,6<80$. Vậy Δ cắt mặt cầu, tàu ngầm sẽ đi vào khu vực nguy hiểm → khẳng định sai. d) $AM=\mathrm{d}(A,\Delta )=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \vec{u}}{|\vec{u}|}=\frac{450+1120+50}{\sqrt{26}}=\frac{1620}{\sqrt{26}}\approx 317,7$ m. Thời gian $t=317,7/5\approx 64$ giây $\ne 51$ giây → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của Δ đọc trực tiếp từ phương trình chính tác là (3;-4;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
A(50;-20;10) thỏa 4x+3y=140 và vecto chỉ phương (3;-4;1) vuông góc pháp tuyến (4;3;0), nên Δ nằm trong (P).
c) (AI giải đề cho tôi)
d(C,Δ)=80√(10/26)≈49,6 m < R=80 m nên đường đi cắt qua khu vực mìn; tàu ngầm sẽ đi vào khu vực nguy hiểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
AM=1620/√26≈317,7 m, thời gian ≈317,7/5≈64 giây, không phải 51 giây.