Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh bằng 2. Gọi $I$ là trung điểm $BD$ và $K$ là điểm thuộc đoạn $AC$ sao $7\overrightarrow{AK}=5\overrightarrow{AC}$. Tính $\overrightarrow{CK}.\overrightarrow{DI}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc tại giao điểm, và $I$ là trung điểm $BD$ nên $I$ cũng là trung điểm $AC$ (tâm hình thoi). Đặt hệ trục gốc tại $I$: $A=(-a;0)$, $C=(a;0)$, $B=(0;b)$, $D=(0;-b)$ với $a^2+b^2=4$ (cạnh 2). Vì $7\overrightarrow{AK}=5\overrightarrow{AC}$ nên $K$ có hoành độ $x_K=-a+\frac{5}{7}(2a)=\frac{3a}{7}$, tức $K=\left(\frac{3a}{7};0\right)$. Suy ra $\overrightarrow{CK}=\left(\frac{3a}{7}-a;0\right)=\left(-\frac{4a}{7};0\right)$ nằm trên đường chéo $AC$, còn $\overrightarrow{DI}=(0;b)$ nằm trên đường chéo $BD$. Do $AC\perp BD$ nên $\overrightarrow{CK}\cdot \overrightarrow{DI}=\left(-\frac{4a}{7}\right)(0)+0\cdot b=0$. Kết quả không phụ thuộc kích thước hình thoi.