Cho hình vuông $ABCD$. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$. Trên đường thẳng vuông góc với $(ABCD)$ tại $H$, lấy điểm $S$. Chứng minh rằng: $CK\perp (SDH)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta chứng minh $CK$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SH$ và $DH$ trong mặt phẳng $(SDH)$.

**Bước 1: $CK\perp SH$.**
Vì $SH\perp (ABCD)$ mà $CK\subset (ABCD)$ nên $SH\perp CK$.

**Bước 2: $CK\perp DH$ (dùng phương pháp tọa độ).**
Chọn hệ trục tọa độ với gốc $A$, trục $Ox$ theo $\breve{0}000vecAB$, trục $Oy$ theo $\breve{0}000vecAD$, cạnh hình vuông bằng $a$. Khi đó:
$$A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a),H\left(\frac{a}{2};0\right),K\left(0;\frac{a}{2}\right).$$
Suy ra:
$$\breve{0}000vecCK=\left(-a;-\frac{a}{2}\right),\breve{0}000vecDH=\left(\frac{a}{2};-a\right).$$
Tích vô hướng:
$$\breve{0}000vecCK\cdot \breve{0}000vecDH=(-a)\cdot \frac{a}{2}+\left(-\frac{a}{2}\right)(-a)=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=0.$$
Vậy $CK\perp DH$.

**Kết luận:** $CK\perp SH$, $CK\perp DH$, với $SH$ và $DH$ là hai đường thẳng cắt nhau tại $H$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(SDH)$. Do đó $CK\perp (SDH)$. $\breve{0}000blacksquare$